Änderungen von Dokument Lösung Schwerpunkt im Dreieck

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,4 +1,10 @@
1		-[[image:Schwerpunktlsg.png||width="250" style="float: right"]]
	1	+1. Für die Koordinaten des Schwerpunktes gilt:
	2	+{{formula}}x_S=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+2+(-1)}{3}=\frac{1}{3}; {{/formula}}
	3	+{{formula}}y_S=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{0+3+5}{3}=\frac{8}{3};{{/formula}}
	4	+{{formula}}z_S=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{0+4+(-2)}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
	5	+Somit: {{formula}}S\left(\frac{1}{3}|\frac{8}{3}|\frac{2}{3}\right){{/formula}}
	6	+
	7	+2. [[image:Schwerpunktlsg.png||width="250" style="float: right"]]
2	2	Sei {{formula}}M_a{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{BC}{{/formula}}, {{formula}}M_b{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AC}{{/formula}} und {{formula}}M_c{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AB}{{/formula}}.
3	3
4	4
...	...	@@ -20,7 +20,10 @@
20	20	\end{align*}
21	21	{{/formula}}
22	22
	29	+mit {{formula}}k,t \in \mathbb{R^+}{{/formula}}
	30	+
23	23	Die Strecke {{formula}}\overrightarrow{AS}{{/formula}} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben:
	32	+
24	24	{{formula}}
25	25	\begin{align*}
26	26	\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\
...	...	@@ -27,3 +27,30 @@
27	27	\Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)}
28	28	\end{align*}
29	29	{{/formula}}
	39	+
	40	+
	41	+Einsetzen von {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} und {{formula}}\text{(II)}{{/formula}} in {{formula}}\text{(III)}{{/formula}}:
	42	+
	43	+{{formula}}
	44	+\begin{align*}
	45	+&t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\
	46	+\Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0
	47	+\end{align*}
	48	+{{/formula}}
	49	+
	50	+Da {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem:
	51	+
	52	+{{formula}}
	53	+\begin{align*}
	54	+\left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (i) \\
	55	+\left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (ii)
	56	+\end{align*}
	57	+{{/formula}}
	58	+
	59	+{{formula}}2\cdot \text{(i)}{{/formula}}-{{formula}}\text{(ii)}{{/formula}}: {{formula}}-\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3} {{/formula}}
	60	+
	61	+Einsetzen von {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in {{formula}}\text{(i)}{{/formula}} (oder {{formula}}\text{(ii)}{{/formula}}) liefert {{formula}}t=\frac{2}{3}{{/formula}}.
	62	+
	63	+Somit ist gezeigt, dass der Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}} die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
	64	+
	65	+//Die Koordinaten des Schwerpunktes erhält man, indem man {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}\text{(I)}}{{/formula}} einsetzt. //