Wiki-Quellcode von Lösung Schwerpunkt im Dreieck
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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4.1 | 1 | [[image:Schwerpunktlsg.png||width="250" style="float: right"]] |
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3.1 | 2 | Sei {{formula}}M_a{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{BC}{{/formula}}, {{formula}}M_b{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AC}{{/formula}} und {{formula}}M_c{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AB}{{/formula}}. |
| 3 | |||
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4.1 | 4 | |
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3.1 | 5 | Es gilt: |
| 6 | |||
| 7 | {{formula}} | ||
| 8 | \begin{align*} | ||
| 9 | \overrightarrow{AS}&=k\cdot \overrightarrow{AM_a} \\ | ||
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4.1 | 10 | &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right) \quad \text{(I)} |
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3.1 | 11 | \end{align*} |
| 12 | {{/formula}} | ||
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4.1 | 13 | |
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3.1 | 14 | und |
| 15 | |||
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4.1 | 16 | {{formula}} |
| 17 | \begin{align*} | ||
| 18 | \overrightarrow{CS}&=t\cdot \overrightarrow{CM_c} \\ | ||
| 19 | &= t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) \quad \text{(II)} | ||
| 20 | \end{align*} | ||
| 21 | {{/formula}} | ||
| 22 | |||
| |
5.1 | 23 | mit {{formula}}k,t \in \mathbb{R^+}{{/formula}} |
| 24 | |||
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4.1 | 25 | Die Strecke {{formula}}\overrightarrow{AS}{{/formula}} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben: |
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5.1 | 26 | |
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4.1 | 27 | {{formula}} |
| 28 | \begin{align*} | ||
| 29 | \overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\ | ||
| 30 | \Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)} | ||
| 31 | \end{align*} | ||
| 32 | {{/formula}} | ||
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5.1 | 33 | |
| 34 | |||
| 35 | Einsetzen von {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} und {{formula}}\text{(II)}{{/formula}} in {{formula}}\text{(III)}{{/formula}}: | ||
| 36 | |||
| 37 | {{formula}} | ||
| 38 | \begin{align*} | ||
| 39 | &t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\ | ||
| 40 | \Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0 | ||
| 41 | \end{align*} | ||
| 42 | {{/formula}} | ||
| 43 | |||
| 44 | Da {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem: | ||
| 45 | |||
| 46 | {{formula}} | ||
| 47 | \begin{align*} | ||
| 48 | \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (I) \\ | ||
| 49 | \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (II) | ||
| 50 | \end{align*} | ||
| 51 | {{/formula}} | ||
| 52 | |||
| 53 | {{formula}}2\cdot \text{(I)}{{/formula}}-{{formula}}\text{(II)}{{/formula}}: {{formula}}-\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3} {{/formula}} | ||
| 54 | |||
| 55 | Einsetzen von {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} (oder {{formula}}\text{(II)}{{/formula}}) liefert {{formula}}t=\frac{2}{3}{{/formula}} |