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Version 5.1 von akukin am 2024/05/19 19:59
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1 [[image:Schwerpunktlsg.png||width="250" style="float: right"]]
2 Sei {{formula}}M_a{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{BC}{{/formula}}, {{formula}}M_b{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AC}{{/formula}} und {{formula}}M_c{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AB}{{/formula}}.
3
4
5 Es gilt:
6
7 {{formula}}
8 \begin{align*}
9 \overrightarrow{AS}&=k\cdot \overrightarrow{AM_a} \\
10 &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right) \quad \text{(I)}
11 \end{align*}
12 {{/formula}}
13
14 und
15
16 {{formula}}
17 \begin{align*}
18 \overrightarrow{CS}&=t\cdot \overrightarrow{CM_c} \\
19 &= t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) \quad \text{(II)}
20 \end{align*}
21 {{/formula}}
22
23 mit {{formula}}k,t \in \mathbb{R^+}{{/formula}}
24
25 Die Strecke {{formula}}\overrightarrow{AS}{{/formula}} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben:
26
27 {{formula}}
28 \begin{align*}
29 \overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\
30 \Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)}
31 \end{align*}
32 {{/formula}}
33
34
35 Einsetzen von {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} und {{formula}}\text{(II)}{{/formula}} in {{formula}}\text{(III)}{{/formula}}:
36
37 {{formula}}
38 \begin{align*}
39 &t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\
40 \Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0
41 \end{align*}
42 {{/formula}}
43
44 Da {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem:
45
46 {{formula}}
47 \begin{align*}
48 \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (I) \\
49 \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (II)
50 \end{align*}
51 {{/formula}}
52
53 {{formula}}2\cdot \text{(I)}{{/formula}}-{{formula}}\text{(II)}{{/formula}}: {{formula}}-\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3} {{/formula}}
54
55 Einsetzen von {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} (oder {{formula}}\text{(II)}{{/formula}}) liefert {{formula}}t=\frac{2}{3}{{/formula}}