BPE 7.3 Skalarprodukt, Winkel und Orthogonalität

Version 28.1 von Daniel Stocker am 2024/02/05 11:00

Inhalt

AFB I Ortogonalität prüfen Flächenberechnung Dreieck
AFB II Skalarprodukt null Orthogonalität transitiv Punktbestimmung durch Skalarprodukt
AFB III Skalarprodukt negativ

Kompetenzen

K6 Ich kann die Bedeutung des Skalarprodukts in der Geometrie erläutern
K5 Ich kann Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
K5 K6 Ich kann geometrische Objekte in Ebene und Raum untersuchen

Aufgabe 1 Ortogonalität prüfen

Berechne jeweils den Winkel zwischen den beiden Vektoren:

a) $\vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec b = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$

b) $\vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec c = \left(\begin{array}{c} 1,5 \\ 2,1 \\ 7\end{array}\right)$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Flächenberechnung Dreieck 𝕋 𝕃

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte A(2|-1|4), B(0|9|-3), C(-2|5|1) festgelegt wird.

AFB I	Kompetenzen K6	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Skalarprodukt null 𝕃

Gegeben ist der Vektor

$\vec a = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)$

Gib einen Vektor an, der orthogonal zu diesem ist!

AFB II	Kompetenzen K5 K2	Bearbeitungszeit 2 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Orthogonalität transitiv 𝕃

Von drei Vekoren im Raum ist folgendes bekannt. Vektor $\vec b$ steht auf $\vec a$ senkrecht und $\vec c$ auf $\vec b$ . Kann man daraus folgern, dass auch $\vec c$ auf $\vec a$ senkrecht stehen muss?
Begründe deine Antwort!

AFB II	Kompetenzen K2 K1 K6	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Skalarprodukt negativ 𝕋 𝕃

Gib zwei Vektoren an, deren Skalarprodukt negativ ist. Prüfe, ob der Winkel zwischen den Vektoren größer 90° ist. Ist das immer so? Begründe!

AFB III	Kompetenzen K2 K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Punktbestimmung durch Skalarprodukt (eAN) 𝕃

Gegeben sind die Punkte A(2|-3|1) und B(2|3|1) .

Begründe, dass die Gerade durch und parallel zur y-Achse verläuft.
Der Punkt liegt auf der y-Achse. Die Gerade durch und steht senkrecht zur Gerade durch und . Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts haben.