BPE 7.3 Skalarprodukt, Winkel und Orthogonalität

Version 38.1 von Daniel Stocker am 2024/02/05 17:15

Inhalt

AFB I Winkel berechnen Orthogonalen Vektor finden Flächenberechnung Dreieck
AFB II Skalarprodukt null Orthogonalität transitiv Quadrat begründen Punktbestimmung durch Skalarprodukt
AFB III Skalarprodukt negativ Drachen begründen

Kompetenzen

K6 Ich kann die Bedeutung des Skalarprodukts in der Geometrie erläutern
K5 Ich kann Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
K5 K6 Ich kann geometrische Objekte in Ebene und Raum untersuchen

Aufgabe 1 Winkel berechnen 𝕋 𝕃

Berechne jeweils den Winkel zwischen den beiden Vektoren:

a) $\vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec b = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)$

b) $\vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec c = \left(\begin{array}{c} 1,5 \\ 2,1 \\ 7\end{array}\right)$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Orthogonalen Vektor finden 𝕃

Bestimme a, sodass der Vektor $\vec u = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2\end{array}\right)$ zu dem Vektor $\vec v = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ a \\ 1\end{array}\right)$ orthogonal ist.

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Flächenberechnung Dreieck 𝕋 𝕃

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte A(2|-1|4), B(0|9|-3), C(-2|5|1) festgelegt wird.

AFB I	Kompetenzen K6	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Skalarprodukt null 𝕃

Gegeben ist der Vektor

$\vec a = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)$

Gib einen Vektor an, der orthogonal zu diesem ist!

AFB II	Kompetenzen K5 K2	Bearbeitungszeit 2 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Orthogonalität transitiv 𝕃

Von drei Vekoren im Raum ist folgendes bekannt. Vektor $\vec b$ steht auf $\vec a$ senkrecht und $\vec c$ auf $\vec b$ . Kann man daraus folgern, dass auch $\vec c$ auf $\vec a$ senkrecht stehen muss?
Begründe deine Antwort!

AFB II	Kompetenzen K2 K1 K6	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Skalarprodukt negativ 𝕋 𝕃

Gib zwei Vektoren an, deren Skalarprodukt negativ ist. Prüfe, ob der Winkel zwischen den Vektoren größer 90° ist. Ist das immer so? Begründe!

AFB III	Kompetenzen K2 K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 7 Drachen begründen 𝕋 𝕃

Begründe, dass es sich bei dem gegebenen Viereck um einen Drachen handelt: A(8,5|5|-3,5), B(4|5|-2), C(-3,5|8|2,5), D(5|7|-1).

AFB III	Kompetenzen K5 K6	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 8 Quadrat begründen 𝕋 𝕃

Begründe, dass es sich bei dem gegebenen Viereck um ein Quadrat handelt: A(5|-1|3), B(1|1|-1), C(-1|5|3), D(3|3|7).

AFB II	Kompetenzen K1 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 9 Punktbestimmung durch Skalarprodukt (eAN) 𝕃

Gegeben sind die Punkte A(2|-3|1) und B(2|3|1) .

Begründe, dass die Gerade durch und parallel zur y-Achse verläuft.
Der Punkt liegt auf der y-Achse. Die Gerade durch und steht senkrecht zur Gerade durch und . Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts haben.