Änderungen von Dokument Lösung Dreieck, Seiten und Winkel

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,15 +1,36 @@
1		-__Seite {{formula}}\overline{AB}{{/formula}}:__
	1	+__Seitenlängen:__
	2	+Seite {{formula}}\overline{AB}{{/formula}}:
2	2	Zunächst stellen wir den Vektor {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} auf: {{formula}}\overrightarrow{AB}=\left(\begin{matrix}7-(-1)\\1-(-1)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\\\end{matrix}\right){{/formula}}
3	3	Nun berechnen wir die Seitenlänge: {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}\approx 8,25{{/formula}}
4	4
5		-__Seite {{formula}}\overline{BC}{{/formula}}:__
6		-{{formula}}\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}1-7\\3-1(\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right){{/formula}}
	6	+Seite {{formula}}\overline{BC}{{/formula}}:
	7	+{{formula}}\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}1-7\\3-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right){{/formula}}
7	7	{{formula}}|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-6)^2+2^2}=\sqrt{40}\approx 6,32{{/formula}}
8	8
9		-__Seite {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}:__
10		-{{formula}}\overrightarrow{AC}=\left(\begin{matrix}1-(-1)\\3-(-1)(\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right){{/formula}}
	10	+Seite {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}:
	11	+{{formula}}\overrightarrow{AC}=\left(\begin{matrix}1-(-1)\\3-(-1)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right){{/formula}}
11	11	{{formula}}|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,47{{/formula}}
12	12
	14	+__Innenwinkel:__
	15	+Zur Berechnung der Innenwinkel verwenden wir die Formel
13	13
	17	+{{formula}}
	18	+\begin{align}
	19	+&\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\\
	20	+\Leftrightarrow \ &\alpha=\cos^{-1}\left( \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} \right)
	21	+\end{align}
	22	+{{/formula}}
14	14
	24	+Winkel zwischen {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}:
15	15
	26	+{{formula}}\alpha_1=\cos^{-1}\left( \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\left(\begin{matrix}8\\2\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right)}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{20}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{8\cdot 2+2\cdot 4}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{20}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{24}{\sqrt{1360}} \right)\approx 49,40^\circ{{/formula}}
	27	+
	28	+
	29	+Winkel zwischen {{formula}}\overrightarrow{BA}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}}:
	30	+
	31	+{{formula}}\alpha_2=\cos^{-1}\left( \frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\left(\begin{matrix}-8\\-2\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right)}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{40}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{(-8)\cdot(-6)+(-2)\cdot2}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{40}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{44}{\sqrt{2720}} \right)\approx 32,47^\circ{{/formula}}
	32	+
	33	+Da wir wissen, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, lässt sich der letzte Winkel (zwischen {{formula}}\overrightarrow{CA}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{CB}{{/formula}}) berechnen durch:
	34	+{{formula}}\alpha_3=180^\circ-\alpha_1-\alpha_2 \approx 180^\circ-49,40^\circ- 32,47^\circ=98,13°{{/formula}}
	35	+
	36	+//Anmerkung: Je nachdem, wie man rundet, können die Winkel leicht abweichen.//