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Lösung Dreieck, Seiten und Winkel

Version 3.1 von akukin am 2025/07/02 09:11

Seitenlängen:
Seite \(\overline{AB}\):
Zunächst stellen wir den Vektor \(\overrightarrow{AB}\) auf: \(\overrightarrow{AB}=\left(\begin{matrix}7-(-1)\\1-(-1)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\\\end{matrix}\right)\)
Nun berechnen wir die Seitenlänge: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}\approx 8,25\)

Seite \(\overline{BC}\):
\(\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}1-7\\3-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right)\)
\(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-6)^2+2^2}=\sqrt{40}\approx 6,32\)

Seite \(\overline{AC}\):
\(\overrightarrow{AC}=\left(\begin{matrix}1-(-1)\\3-(-1)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right)\)
\(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,47\)

Innenwinkel:
Zur Berechnung der Innenwinkel verwenden wir die Formel

\[\begin{align} &\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\\ \Leftrightarrow \ &\alpha=\cos^{-1}\left( \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} \right) \end{align}\]

Winkel zwischen \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\):

\[\alpha_1=\cos^{-1}\left( \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\left(\begin{matrix}8\\2\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right)}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{20}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{8\cdot 2+2\cdot 4}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{20}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{24}{\sqrt{1360}} \right)\approx 49,40^\circ\]

Winkel zwischen \(\overrightarrow{BA}\) und \(\overrightarrow{BC}\):

\[\alpha_2=\cos^{-1}\left( \frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\left(\begin{matrix}-8\\-2\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right)}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{40}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{(-8)\cdot(-6)+(-2)\cdot2}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{40}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{44}{\sqrt{2720}} \right)\approx 32,47^\circ\]

Da wir wissen, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, lässt sich der letzte Winkel (zwischen \(\overrightarrow{CA}\) und \(\overrightarrow{CB}\)) berechnen durch:
\(\alpha_3=180^\circ-\alpha_1-\alpha_2 \approx 180^\circ-49,40^\circ- 32,47^\circ=98,13°\)

Anmerkung: Je nachdem, wie man rundet, können die Winkel leicht abweichen.