Wiki-Quellcode von Lösung Symmetrie
Zuletzt geändert von Daniel Rossdeutscher am 2026/05/12 16:17
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| author | version | line-number | content |
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7.1 | 1 | //Max betrachtet die auf {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} deren Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Er behauptet, dass auch die Verknüpfung {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}} ein zur y-Achse symmetrisches Schaubild besitzt.// |
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1.1 | 2 | |
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6.1 | 3 | |
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7.1 | 4 | //a) Zeige rechnerisch, dass Max recht hat.// |
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6.1 | 5 | |
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1.1 | 6 | Da {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} achsensymmetrisch zur y-Achse sind, gilt {{formula}}u(x)=u(-x){{/formula}} und {{formula}}v(x)=v(-x){{/formula}}. |
| 7 | Daraus folgt: {{formula}}f(-x)=u(-x)\cdot v(-x)=u(x)\cdot v(x)=f(x){{/formula}} | ||
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2.1 | 8 | Daraus folgt: {{formula}}K_f{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse. |
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1.1 | 9 | |
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18.1 | 10 | **Bemerkung:** Die Angabe eines einzelnen Beispiels, wie {{formula}}u(x)=x^2{{/formula}}, {{formula}}v(x)=x^4{{/formula}} und {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x)=x^2\cdot x^4=x^6{{/formula}}, reicht nicht als vollständiger Nachweis aus. |
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2.1 | 11 | |
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6.1 | 12 | //b) Untersuche, wie sich die Symmetrie der Verknüpfung {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}} für zum Ursprung punktsymmetrische {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} verhält.// |
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1.1 | 13 | |
| 14 | Da {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} punktsymmetrisch zum Ursprung sind, gilt {{formula}}u(x)=-u(-x){{/formula}} und {{formula}}v(x)=-v(-x){{/formula}}. | ||
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2.1 | 15 | Daraus folgt: {{formula}}-f(-x)=-(u(-x)\cdot v(-x))=-u(-x)\cdot (-v(-x))=u(x)\cdot v(x)=f(x){{/formula}} |
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8.1 | 16 | Daraus folgt: {{formula}}K_f{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse. |
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1.1 | 17 | |
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5.1 | 18 | |
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6.1 | 19 | //c) Ermittle die Symmetrie-Eigenschaften von {{formula}}K_f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}}. Gebe diese in der Tabelle an.// |
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8.1 | 20 | |
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12.1 | 21 | i) Da {{formula}}u(x){{/formula}} punktsymmetrisch zum Ursprung und {{formula}}v(x){{/formula}} achsensymmetrisch zur y-Achse sind, gilt {{formula}}-u(x)=u(-x){{/formula}} und {{formula}}v(x)=v(-x){{/formula}}. |
| 22 | Daraus folgt: {{formula}}f(-x)=u(-x)\cdot v(-x)=-u(x)\cdot v(x)=-f(x){{/formula}} | ||
| 23 | Daraus folgt: {{formula}}K_f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung. | ||
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8.1 | 24 | |
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12.1 | 25 | ii) Folgt aus der Kommutativität der Multiplikation. |
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11.1 | 26 | |
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12.1 | 27 | iii) siehe b) |
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11.1 | 28 | |
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1.1 | 29 | (%class="border slim"%) |
| 30 | |**{{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}}**|**{{formula}}K_u {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse**|**{{formula}}K_u{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung** | ||
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12.1 | 31 | |**{{formula}}K_v {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse**|{{formula}}K_f {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse|i) {{formula}}K_f{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung |
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14.1 | 32 | |**{{formula}}K_v{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung**|ii) {{formula}}K_f{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung|iii) {{formula}}K_f {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse |