BPE 12 Einheitsübergreifend

Version 9.1 von akukin am 2024/03/05 14:38

Inhalt

Aufgabe 1 L’Hospital (M+) 𝕃

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit $f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q},$ „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit $g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q}$ .
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten -Wert x_0 ist f(x)>g(x) für alle x>x_0 .

Betrachtet man z. B. die Funktionen $f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x$ und $g(x)= x^{100}$ , so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).

Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.

Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

(Die Regel setzt man ein, wenn für $x \rightarrow \infty$ Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen $-\infty$ oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen $+\infty$ gehen.)

Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für $x \rightarrow -\infty$ und für $x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}$ .

#problemlösen

AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit 30 min
Quelle Dr. Andreas Dinh		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Grad, Skizze (eAN) 𝕃

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion mit erster Ableitungsfunktion und zweiter Ableitungsfunktion f'' hat folgende Eigenschaften:

hat bei eine Nullstelle.
Es gilt und $f''(x_2)\neq 0$ .
hat ein Minimum an der Stelle .

Die Abbildung zeigt die Positionen von x_1, x_2 und x_3 :

Begründe, dass der Grad von mindestens 3 ist.
Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von .

#iqb

AFB k.A.	Kompetenzen K1 K4 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle IQB		Lizenz k.A.

Aufgabe 3 Kosinusfunktion, Periode, Steigung (eAN) 𝕃

Eine in $\mathbb{R}$ definierte Kosinusfunktion hat die Periode . Der Punkt $\left(\frac{p}{2}\middle| p\right)$ ist ein Hochpunkt des Graphen von , der Punkt $\left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right)$ ein Wendepunkt. Bestimme die Steigung des Graphen von an der Stelle $\frac{p}{4}$ .