Lösung L’Hospital

Zum Lösen der Aufgabe könnte man zunächst einfache Beispiele probieren wie \(f(x)=e^x\) und \(g(x)=x^2\) und mit einer Wertetabelle feststellen, dass f g sehr schnell überholt hat.

Dann betrachtet man für das einfache Beispiel die Regel von de L’Hospital und erkennt, dass sie zweimal angewandt werden muss: \( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{e^x}=0\), also wächst \(e^x\) schneller als \(x^2\).

In weiteren Schritten kann man sich überlegen, inwieweit sich Modifikationen wie Verschiebung, eine Erhöhung des Exponenten (→ Regel muss mehrmals angewandt werden) oder eine Wahl von hohen bzw. niedrigen Werten von a oder eine Verringerung der Basis (entspricht einem modifizierten Wert von a) den Sachverhalt verändert:

Verschiebung nach oben: \( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+b}{e^x+b}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{e^x}=0 \Rightarrow\) Verschiebung nach oben/unten irrelevant.

Streckung nach oben/unten:  \( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{ax^2}{\tilde{a}e^x}=\dots = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2a}{2\tilde{a}e^x}=0 \), also ebenfalls irrelevant.

Größere Hochzahl:  \( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{100}}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{100x^{99}}{e^x}=\dots \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{100!}{e^x}=0 \Rightarrow \) Bei jeder Hochzahl \( n \in \mathbb{N} \) folgt ein Grenzwert von 0, wenn man die Regel von de L’Hospital nur oft genug anwendet.

Positive Hochzahl \( \underline{r \notin \mathbb{N}} \): Für jede nicht natürliche rationale Hochzahl r wächst \( x^r \) langsamer als \(x^n \) für die kleinste natürliche Zahl \(n\geq r \). Mit dem oben Gezeigten folgt also, dass \(x^r \) langsamer wächst als \(e^x\)

Negative Hochzahl \( \underline{r \in \mathbb{Q}}\): Da \(x^r \) für \( x \rightarrow \infty\) gegen 0 geht, wächst \(e^x \) offensichtlich schneller.

Andere Basis q: \( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{q^x}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\ln(q)^2\cdot e^x}=0 \). Dies gilt analog auch für größere Hochzahlen als 2.