Lösung L’Hospital
Zum Lösen der Aufgabe könnte man zunächst einfache Beispiele probieren wie und und mit einer Wertetabelle feststellen, dass f g sehr schnell überholt hat.
Dann betrachtet man für das einfache Beispiel die Regel von de L’Hospital und erkennt, dass sie zweimal angewandt werden muss: , also wächst schneller als .
In weiteren Schritten kann man sich überlegen, inwieweit sich Modifikationen wie Verschiebung, eine Erhöhung des Exponenten (→ Regel muss mehrmals angewandt werden) oder eine Wahl von hohen bzw. niedrigen Werten von a oder eine Verringerung der Basis (entspricht einem modifizierten Wert von a) den Sachverhalt verändert:
Verschiebung nach oben: Verschiebung nach oben/unten irrelevant.
Streckung nach oben/unten: , also ebenfalls irrelevant.
Größere Hochzahl: Bei jeder Hochzahl folgt ein Grenzwert von 0, wenn man die Regel von de L’Hospital nur oft genug anwendet.
Positive Hochzahl : Für jede nicht natürliche rationale Hochzahl r wächst langsamer als für die kleinste natürliche Zahl . Mit dem oben Gezeigten folgt also, dass langsamer wächst als
Negative Hochzahl : Da für gegen 0 geht, wächst offensichtlich schneller.
Andere Basis q: . Dies gilt analog auch für größere Hochzahlen als 2.