Wiki-Quellcode von Lösung Ableitung berechnen und grafisch ermitteln
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author | version | line-number | content |
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1 | === Teilaufgabe 1 === | ||
2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
3 | {{formula}}g^\prime\left(x\right)=2\cdot e^x;\ \ g^\prime\left(0\right)=2{{/formula}} | ||
4 | {{/detail}} | ||
5 | |||
6 | |||
7 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
8 | <p> | ||
9 | Die Ableitung der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g\left(x\right)=2\cdot e^x-2{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} ist gesucht. | ||
10 | </p> | ||
11 | Wir bestimmen zuerst {{formula}}g^\prime\left(x\right){{/formula}}: | ||
12 | <br> | ||
13 | {{formula}}g^\prime\left(x\right)=2\cdot e^x{{/formula}} | ||
14 | <br> | ||
15 | Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung. Der Faktor {{formula}}2{{/formula}} bleibt erhalten (Faktorregel). Der Summand {{formula}}-2{{/formula}} wird beim Ableiten zu {{formula}}0{{/formula}}. | ||
16 | <br> | ||
17 | Nun können wir {{formula}}g^\prime\left(0\right){{/formula}} ermitteln: | ||
18 | <br> | ||
19 | {{formula}}g^\prime\left(0\right)=2\cdot e^0=2{{/formula}} | ||
20 | <br> | ||
21 | („Hoch null“ ergibt immer 1.) | ||
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23 | <p> | ||
24 | Die Ableitung an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} ist die Steigung der Tangente, die den Graphen an dieser Stelle berührt. Also zeichnen wir die Tangente ein (gestrichelte Linie). | ||
25 | </p> | ||
26 | Die gesuchte Steigung dieser Tangente wird mit einem passenden Steigungsdreieck veranschaulicht. An diesem ist zu erkennen, dass man tatsächlich 2 Schritte nach oben geht, wenn man 1 Schritt nach rechts gegangen ist. Also ist die Steigung {{formula}}g^\prime\left(0\right)=2{{/formula}}. | ||
27 | |||
28 | {{/detail}} | ||
29 | |||
30 | === Teilaufgabe 2 === | ||
31 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
32 | Die Aussage ist falsch, da die Steigungen der Graphen von {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} an der Stelle {{formula}}0{{/formula}} nicht übereinstimmen. | ||
33 | {{/detail}} | ||
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35 | |||
36 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
37 | Würde man den Graphen von {{formula}}g{{/formula}} um zwei Längeneinheiten nach oben verschieben, so hätte er tatsächlich denselben y-Achsenabschnitt wie der Graph von {{formula}}h{{/formula}}. Jedoch ist die Steigung von {{formula}}g{{/formula}} am y-Achsenabschnitt wesentlich größer als die Steigung von {{formula}}h{{/formula}}. Also können die beiden Graphen nur durch vertikales Verschieben nicht zur Deckung gebracht werden. (Man müsste den Graphen von {{formula}}g{{/formula}} noch zusätzlich in y-Richtung stauchen, das heißt den Funktionsterm mit einem Faktor zwischen 0 und 1 multiplizieren.) | ||
38 | {{/detail}} |