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Version 2.1 von akukin am 2024/10/20 20:27
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}g^\prime\left(x\right)=2\cdot e^x;\ \ g^\prime\left(0\right)=2{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 <p>
9 Die Ableitung der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g\left(x\right)=2\cdot e^x-2{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} ist gesucht.
10 </p>
11 Wir bestimmen zuerst {{formula}}g^\prime\left(x\right){{/formula}}:
12 <br>
13 {{formula}}g^\prime\left(x\right)=2\cdot e^x{{/formula}}
14 <br>
15 Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung. Der Faktor {{formula}}2{{/formula}} bleibt erhalten (Faktorregel). Der Summand {{formula}}-2{{/formula}} wird beim Ableiten zu {{formula}}0{{/formula}}.
16 <br>
17 Nun können wir {{formula}}g^\prime\left(0\right){{/formula}} ermitteln:
18 <br>
19 {{formula}}g^\prime\left(0\right)=2\cdot e^0=2{{/formula}}
20 <br>
21 („Hoch null“ ergibt immer 1.)
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23 <p>
24 Die Ableitung an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} ist die Steigung der Tangente, die den Graphen an dieser Stelle berührt. Also zeichnen wir die Tangente ein (gestrichelte Linie).
25 </p>
26 Die gesuchte Steigung dieser Tangente wird mit einem passenden Steigungsdreieck veranschaulicht. An diesem ist zu erkennen, dass man tatsächlich 2 Schritte nach oben geht, wenn man 1 Schritt nach rechts gegangen ist. Also ist die Steigung {{formula}}g^\prime\left(0\right)=2{{/formula}}.
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28 {{/detail}}
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30 === Teilaufgabe 2 ===
31 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
32 Die Aussage ist falsch, da die Steigungen der Graphen von {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} an der Stelle {{formula}}0{{/formula}} nicht übereinstimmen.
33 {{/detail}}
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36 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
37 Würde man den Graphen von {{formula}}g{{/formula}} um zwei Längeneinheiten nach oben verschieben, so hätte er tatsächlich denselben y-Achsenabschnitt wie der Graph von {{formula}}h{{/formula}}. Jedoch ist die Steigung von {{formula}}g{{/formula}} am y-Achsenabschnitt wesentlich größer als die Steigung von {{formula}}h{{/formula}}. Also können die beiden Graphen nur durch vertikales Verschieben nicht zur Deckung gebracht werden. (Man müsste den Graphen von {{formula}}g{{/formula}} noch zusätzlich in y-Richtung stauchen, das heißt den Funktionsterm mit einem Faktor zwischen 0 und 1 multiplizieren.)
38 {{/detail}}