Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2	2	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3	3
4		-{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
5		-Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
	4	+{{aufgabe id="Produktregel herleiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	5	+Gegeben sind zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
6	6	(% class="abc" %)
7		-1. (((Ermittle rechnerisch (nach Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:
8		-1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}}
9		-1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}}
10		-1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.
11		-1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}.
12		-
13		-)))
14		-1. Ermittle rechnerisch (nach Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//.
15		-1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt:
16		-1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}}
17		-1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}}
18		-1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}
19		-1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot (f_1'){{/formula}}.
20		-
21		-)))
22		-1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
23		-1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
24		-//Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1).
	7	+1. Ermittlere rechnerisch die Hauptform der Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}} und der ersten Ableitung //f'// von //f//.
	8	+1. Zeige, dass sich /f'// folgendermaßen schreiben lässt: {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}.
	9	+1. Recherchieren Sie die Produktregel für Ableitungen; vgl. Merkhilfe Seite 5.
	10	+1. Begründen Sie, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Produktregel für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt ist, insofern differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind.\\
	11	+Vgl. BPE 12.5 für die lokale lineare Approximation.
25	25	{{/aufgabe}}
26	26
27		-{{aufgabe id="Spezielle Ableitungen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
28		-Ermittle zu folgender Funktionsgleichung einer Funktion //f// den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung ihrer ersten Ableitung //f'//.
29		-(% class="abc" %)
30		-1. {{formula}}f(x)=x^1 \cdot x^{k-1}{{/formula}} für {{formula}}k\in \mathbb{N}^*{{/formula}}
31		-1. {{formula}}f(x)=x^k \cdot x^{-k}{{/formula}} für {{formula}}k\in \mathbb{N}^*{{/formula}}
32		-1. {{formula}}f(x)=e^{\ln(x)}{{/formula}}
33		-1. {{formula}}f(x)=e^{r\cdot \ln(x)}{{/formula}} für {{formula}}r\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}
34		-1. {{formula}}f(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}}
35		-{{/aufgabe}}
36		-