Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2	2	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3	3
4		-{{aufgabe id="Produktregel herleiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
5		-Gegeben sind zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} ({{formula}}i=1,2{{/formula}}).
	4	+{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	5	+Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
6	6	(% class="abc" %)
7		-1. Nenne die Hauptform der Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.
8		-1. Ermittle rechnerisch die Ableitung //f'// von //f//.
9		-1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}.
10		-1. Recherchieren Sie die Produktregel für Ableitungen; vgl. Merkhilfe Seite 5.
11		-1. Begründen Sie, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Produktregel für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt ist, insofern differenzierbare Funktionen lokal linear approximierbar sind.
	7	+1. (((Ermittle rechnerisch (nach Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:
	8	+1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}}
	9	+1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}}
	10	+1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.
	11	+1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}.
	12	+
	13	+)))
	14	+1. Ermittle rechnerisch (nach Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//.
	15	+1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt:
	16	+1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}}
	17	+1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}}
	18	+1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}
	19	+1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot (f_1'){{/formula}}.
	20	+
	21	+)))
	22	+1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
	23	+1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
	24	+//Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1).
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
	27	+{{aufgabe id="Spezielle Ableitungen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	28	+//Implizites Ableiten//. Ermittle zu folgender Funktionsgleichung einer Funktion //f// den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung ihrer ersten Ableitung //f'//.
	29	+(% class="abc" %)
	30	+1. {{formula}}f(x)=x^n \cdot x^{-n}{{/formula}}
	31	+1. {{formula}}f(x)=e^{\ln(x)}{{/formula}}
	32	+1. {{formula}}f(x)=e^{r\cdot \ln(x)}{{/formula}}
	33	+{{/aufgabe}}
	34	+