Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -21,8 +21,7 @@
21	21	)))
22	22	1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
23	23	1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
24		-
25		-//Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
	24	+//Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}} gilt. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche die Ableitungsregeln erfüllen.
26	26	{{/aufgabe}}
27	27
28	28	{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
...	...	@@ -29,16 +29,15 @@
29	29	Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
30	30	(% class="abc" %)
31	31	1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
32		-1. Untersuche die Abbildung {{formula}}q\mapsto f_q'(0){{/formula}} mit dem WTR. Kennst du für den Funktionsterm eine passende Bezeichnung?
	31	+1. Untersuche die Abbildung {{formula}}q\mapsto f_q'(0){{/formula}} mit dem WTR.
33	33	//Ansatz//. Wähle für //q// Potenzen von //e// und approximiere den Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten mit kleinen Nennern.
34		-1. Zeige unter Verwendung der Kettenregel und folgender Anmerkung die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe. Dort wird der Funktionsterm {{formula}}e^{bx}{{/formula}} betrachtet, das ist für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} der Funktionsterm von {{formula}}f_q{{/formula}}, nämlich {{formula}}e^{bx}=e^{\ln(q)x}=q^x=f_q(x){{/formula}}.
35	35
36		-//Anmerkung//.(% class="alphastyle" %)
37		-1. Es gilt folgende Gleichung: {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}}.
38		-Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
39		-1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen: {{formula}}\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e{{/formula}}.
40		-Das charakterisiert zunächst eine reelle Zahl, die wir durch "{{formula}}e{{/formula}}" bezeichnen" und das zeichnet weiter die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis //e//) unter allen Exponentialfunktionen aus: {{formula}}f_e'(x)=f_e(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_e'=f_e{{/formula}}.
41		-1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
	34	+//Anmerkung//.
	35	+(% class="abc" %)
	36	+1. Es gilt folgende Gleichung {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}}. Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
	37	+1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen {{formula}}\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e{{/formula}}. Das zeichnet die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis //e//) unter allen Exponentialfunktionen aus: {{formula}}f_e'(x)=f_e(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_e'=f_e{{/formula}}.
	38	+1. Es gilt {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}}.
	39	+1. Die Ableitungsregel für Exponenzialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe verwendet die Darstellung {{formula}}q^x=e^{bx}{{/formula}} für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}}.
42	42	{{/aufgabe}}
43	43
44	44	{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
...	...	@@ -46,7 +46,7 @@
46	46	//Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
47	47	{{/aufgabe}}
48	48
49		-{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	47	+{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
50	50	Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
51	51	(% class="abc" %)
52	52	1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.
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60	60	//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
61	61	1. Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.
62	62	//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
63		-//Anmerkung//. Die Fortsetzung {{formula}}e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} der Funktionsgleichung von //f// leistet (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.
64	64	{{/aufgabe}}
65	65
66		-{{aufgabe id="Winkelfunktionen" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	63	+{{aufgabe id="Winkelfunktionen" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
67	67	Gegeben sind die Winkelfunktionen {{formula}}\sin, \cos{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}[-1;+1]{{/formula}}. Wir wollen ihre ersten Ableitungen {{formula}}\sin', \cos'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1{{/formula}} (trigonometrischer Pythagoras).
68	68	(% class="abc" %)
69	69	1. //Implizites Differenzieren//. Zeige, dass gilt: {{formula}}\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x){{/formula}}.