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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,27 +1,63 @@
1 1  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2 2  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3 3  
4 -{{aufgabe id="Ableiten verknüfter Funktionen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
4 +{{aufgabe id="Verknüpfung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
5 5  Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
6 6  
7 -a) {{formula}}f(x)= e^{x}-2x +9 {{/formula}}.
7 +a) {{formula}}f(x)= e^{x}+2x +9 {{/formula}}.
8 8  b) {{formula}}f(x)=x \cdot sin(x) {{/formula}}.
9 -c) {{formula}}f(x)=\frac{1}{x} + e^{x}-5 {{/formula}}.
9 +c) {{formula}}f(x)= \frac{1}{x} -3x {{/formula}}.
10 10  
11 +
11 11  {{/aufgabe}}
12 12  
13 -{{aufgabe id="Ableiten verketteter Funktionen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
14 +{{aufgabe id="Verkettung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
14 14  Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
15 15  
16 16  a) {{formula}}f(x)=(3x+4)^5{{/formula}}.
17 17  b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x+3} {{/formula}}.
18 -c) {{formula}}f(x)=-cos(2x-6) {{/formula}}.
19 -d) {{formula}}f(x)=\frac{1}{(2x-7)^2} {{/formula}}.
19 +c) {{formula}}f(x)=-0,5cos(2x-6) {{/formula}}.
20 20  
21 21  {{/aufgabe}}
22 22  
23 +{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
24 +Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
23 23  
26 +a) {{formula}}f(x)=\sqrt{x} + cos (\pi {x}){{/formula}}.
27 +b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x}\cdot sin(6x-1) {{/formula}}.
24 24  
29 +{{/aufgabe}}
30 +
31 +{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung eAN" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" niveau= "e" cc="BY-SA" zeit="8"}}
32 +
33 +Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
34 +
35 +a) {{formula}}f(x)=e^{ln(0,75)x}+ln(9x-5) {{/formula}}
36 +b) {{formula}}f(x)=(3x+1)\cdot e^{-x^4} {{/formula}}.
37 +
38 +{{/aufgabe}}
39 +
40 +{{aufgabe id="Korrekturen" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
41 +
42 +Tim hat zu einem gegebenen Funktionstermen eine Ableitung erstellt.
43 +Begründe, warum die Ableitung nicht korrekt ist.
44 +
45 +{{formula}}f(x)=\frac{1}{(6x+9)^{4}} {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=\frac{1}{4(6x+9)^{3}} {{/formula}}
46 +
47 +{{/aufgabe}}
48 +
49 +{{aufgabe id="Funktion und Ableitung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
50 +
51 +Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
52 +Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.
53 +
54 +a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot\square {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} {{/formula}}
55 +b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}}~ und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}
56 +
57 +{{/aufgabe}}
58 +
59 +
60 +
25 25  {{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26 26  Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
27 27  (% class="abc" %)
... ... @@ -46,7 +46,7 @@
46 46  //Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
47 47  {{/aufgabe}}
48 48  
49 -{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
85 +{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
50 50  Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
51 51  (% class="abc" %)
52 52  1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
... ... @@ -62,12 +62,12 @@
62 62  1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 -{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
101 +{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
66 66  Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
67 67  //Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
68 68  {{/aufgabe}}
69 69  
70 -{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
106 +{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
71 71  Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
72 72  (% class="abc" %)
73 73  1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.