BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

Aufgabe 1  Tangente Funktionsschar (eAN) 𝕋  𝕃

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl \(a\) die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f_a\) mit \(f_a\left(x\right)=a\cdot x^2\). Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f_\frac{1}{2}\) sowie die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f_\frac{1}{2}\) im Punkt \(\left(4\middle| f_\frac{1}{2}\left(4\right)\right)\).

1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente \(t\) an.
2. Weise nach, dass für jeden Wert \(u\in\mathbb{R}\) die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \(\left(u\middle| f_a\left(u\right)\right)\) die y-Achse im Punkt \(\left(0\middle|-f_a\left(u\right)\right)\) schneidet.
     

  

 
 
 
 
Hinweis:
Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.

Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel:
Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2\).
Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\) sowie die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(\left(4\middle| f\left(4\right)\right)\).

1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente \(t\) an.
2. Der Graph von \(f\) wird in y-Richtung gestreckt; dabei entsteht der Graph der transformierten Funktion \(g\).
   Weise nach, dass unabhängig vom Streckungsfaktor für jeden Wert \(u\in\mathbb{R}\) die an den gestreckten Graphen im Punkt \(\left(u\middle| g\left(u\right)\right)\) angelegte Tangente die y-Achse im Punkt \(\left(0\middle|-g\left(u\right)\right)\) schneidet.

#iqb

Aufgabe 2  Tangente und Berührpunkt (gAN) 𝕋  𝕃

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2\).
Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\) sowie die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(\left(4\middle| f\left(4\right)\right)\).

1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente \(t\) an.
2. Weise nach, dass für jeden Wert \(u\in\mathbb{R}\) die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(\left(u\middle| f\left(u\right)\right)\) die y-Achse im Punkt \(\left(0\middle|-f\left(u\right)\right)\) schneidet.

#iqb

Aufgabe 3  Tangente in einem Kurvenpunkt 𝕃

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x\).

1. Berechne die Gleichung der Tangente \(t\) an die Kurve \(K_f\) an der Stelle \(x=3\).
2. Begründe, dass die Gerade \(g\) mit \(g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}\) auch Tangente an die Kurve \(K_f\) ist.

#10

Aufgabe 4  Tangente in einem Kurvenpunkt IInull 𝕃

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x\).

1. Zeichne \(K_f\) für \(-3\leq x\leq 3\) in ein Koordinatensystem ein.
2. Berechne die Gleichung der Tangente \(t\) in der Nullstelle der Funktion.
3. Begründe, dass die Gerade \(g\) mit \(y=4\) keine Tangente an die Kurve \(K_f\) ist.
4. Zeige: Alle Tangenten an \(K_f\) haben negative Steigung.

Aufgabe 5  Tangente in einem Kurvenpunkt III 𝕃

Eine Schülerin findet in ihren Unterlagen den nachfolgend abgebildeten Aufschrieb zu einer gelösten Aufgabe. Leider ist die dazu gehörende Aufgabenstellung verlorengegangen.
Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung.
  1.

2.
\(h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1\)
\(h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)\)
\(h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}\)
\(h(6)=1\)
Einsetzen von \(m=\frac{\pi}{4}\) und \(P(6|1)\)in \(y=mx+c\) liefert \(c=1-\frac{3}{2}\pi\).
\(t: y=\frac{\pi}{4}x+1-\frac{3}{2}\pi\)

3.
\(h'(x)=m\)
\(-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2\)
\(sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}\)
Substituiere:\(\frac{\pi}{4}x=u\)
\(sin(u)=-\frac{8}{\pi}\)
\(-\frac{8}{\pi}<-1\)
\(-\frac{8}{\pi}\) liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.