BPE 12.6 Extrempunkte, Wendepunkte
K5 Ich kann mittels erster und zweiter Ableitung das lokale Verhalten einer Funktion untersuchen
K5 Ich kann mithilfe notwendiger und hinreichender Kriterien lokale Extrem- und Wendepunkte ermitteln
K4 Ich kann lokale Extrem- und Wendepunkte nutzen, um Funktionsgraphen zu zeichnen
K6 K4 Ich kann Zusammenhänge der Graphen von f, f' und f'' beschreiben
K6 Ich kann Wendepunkte als Punkte mit größter bzw. kleinster Steigung interpretieren
1 Fremdsprache Mathematik (7 min) 𝕃
Ergänze folgende Tabelle:
| Symbolsprache | Übersetzung | Bedeutung für den Graphen |
|---|---|---|
| \(f(2)=4\) | ||
| \(f'(0)=0\) \(f''(0)=0\) \(f'''(0)\neq 0\) | ||
| Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung | ||
| Für \(x\rightarrow\infty\) folgt \(f(x)\rightarrow\infty\) |
| AFB I - K4 K6 | Quelle Martina Wagner |
2 Extrem- und Wendestellen aus Wertetabellen (7 min) 𝕃
Die folgende Tabelle enthält Funktionswerte und Werte der ersten beiden Ableitungen einer Polynomfunktion h vom Grad 4. Das Schaubild von h ist K.
| x | -1,5 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 |
| \(h(x) \) | 2,375 | -2 | -1,625 | -1 | -1,625 | -2 | 2,375 |
| \(h'(x) \) | -18 | -2 | 2 | 0 | -2 | 2 | 18 |
| \(h''(x) \) | 48 | 18 | 0 | -6 | 0 | 18 | 48 |
Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung, ohne Funktionsterme zu berechnen.
- P(-1|2) liegt auf K.
- K besitzt zwei Wendepunkte
- K besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente
| AFB II - K1 K4 K6 | Quelle HT 2020 Analysis Teil A |
3 Extremstellen und Extrempunkte bestimmen (5 min) 𝕃
Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+\frac{4}{3}x^3\)
- Gib alle Stellen an, an der die Funktion mögliche Extremstellen besitzt und begründe, warum eine der Stellen keine Extremstelle ist.
- Berechne den Hoch- und Tiefpunkt des Schaubilds der Funktion f.
| AFB I - K5 K1 | Quelle Caroline Leplat |
4 Innermathematisch A (4 min) 𝕃
Gegeben ist eine Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).
- Zeige, dass der Graph von \(f\) einen Extrempunkt besitzt, der auf der \(x\)-Achse liegt.
- Berechne die minimale momentane Änderungsrate von \(f\).
| AFB II - K5 | Quelle Tobias Großmann |
5 Aussagen Polynomfunktion (5 min) 𝕃
Welche der nachfolgenden Aussagen sind wahr? Begründe deine Wahl!
Eine Polynomfunktion 3. Grades...
☐ hat immer zwei Extrempunkte!
☐ kann auch mal nur einen Extrempunkt haben!
☐ kann auch mal keinen Extrempunkt haben!
☐ hat immer genau einen Wendepunkt!
☐ hat entweder einen Sattelpunkt oder zwei Extrempunkte!
| AFB II - K1 K4 | Quelle KMap |
6 Aussagen Sattelstelle (5 min) 𝕃
Welche der nachfolgenden Aussagen über Sattelstellen sind wahr? Begründe deine Wahl!
☐ Eine Sattelstelle hat eine waagrechte Tangente.
☐ An einer Sattelstelle hat die Steigungsfunktion ein Maximum oder ein Minimum.
☐ An einer Sattelstelle gibt es immer auch einen Krümmungswechsel.
☐ Eine Sattelstelle ist auch eine Wendestelle.
☐ Eine Sattelstelle kann auch eine Maximalstelle sein.
| AFB II - K1 K4 | Quelle KMap |
7 Zuordnung (5 min)
Die Schaubilder gehören zu den Funktionen \(f\), \(f'\) und \(f''\). Ordne zu und begründe Deine Zuordnung.
| AFB II - K4 K6 | Quelle Holger Engels, Kim Fujan |
8 Notwendig oder hinreichend (5 min)
Aufgabenentwurf
Gegenstand der Betrachtung sei eine Polynomfunktion f, ihre ersten beiden Ableitungen und ihr Graph F. Entscheide jeweils, ob die folgenden Bedingungen widersprüchlich, notwendig oder hinreichend für die Existenz eines Extrempunkts sind.
- f' hat an der Stelle x0 eine Nullstelle
- f' hat an der Stelle x0 eine einfache Nullstelle
- f' hat an der Stelle x0 eine doppelte Nullstelle
- f' hat an der Stelle x0 eine einfache Nullstelle und f'' ebenfalls eine einfache Nullstelle
- f' hat an der Stelle x0 eine doppelte Nullstelle und f'' eine einfache Nullstelle
- f' hat an der Stelle x0 eine doppelte Nullstelle und f'' einen negativen Wert
- f ist vom Grad 3 und hat 2 einfache Nullstellen
| AFB I - K4 K6 | Quelle Holger Engels |