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Version 83.1 von Dirk Tebbe am 2026/02/26 16:00
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mittels erster und zweiter Ableitung das lokale Verhalten einer Funktion untersuchen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe notwendiger und hinreichender Kriterien lokale Extrem- und Wendepunkte ermitteln
5 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann lokale Extrem- und Wendepunkte nutzen, um Funktionsgraphen zu zeichnen
6 [[Kompetenzen.K6]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Zusammenhänge der Graphen von //f//, //f'// und //f''// beschreiben
7 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann Wendepunkte als Punkte mit größter bzw. kleinster Steigung interpretieren
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9 {{aufgabe id="Fremdsprache Mathematik" afb="I" kompetenzen="K4, K6" quelle="Martina Wagner" zeit="7"}}
10 Ergänze folgende Tabelle:
11 (%class="border"%)
12 |=Symbolsprache|=Übersetzung|=Bedeutung für den Graphen
13 |{{formula}}f(2)=4{{/formula}}||
14 |{{formula}}f'(0)=0{{/formula}}
15 {{formula}}f''(0)=0{{/formula}}
16 {{formula}}f'''(0)\neq 0{{/formula}}||
17 |||Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung
18 ||Für {{formula}}x\rightarrow\infty{{/formula}} folgt {{formula}}f(x)\rightarrow\infty{{/formula}}|
19 {{/aufgabe}}
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21 {{aufgabe id="Extrem- und Wendestellen aus Wertetabellen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="HT 2020 Analysis Teil A" zeit="10"}}
22 Die folgende Tabelle enthält Funktionswerte und Werte der ersten beiden Ableitungen einer Polynomfunktion //h// vom Grad //4//. Das Schaubild von //h// ist //K//.
23 (%class="border" style="text-align:center"%)
24 |x|-1,5|-1|-0,5|0|0,5|1|1,5
25 |{{formula}}h(x) {{/formula}}|2,375|-2|-1,625|-1|-1,625|-2|2,375
26 |{{formula}}h'(x) {{/formula}}|-18|-2|2|0|-2|2|18
27 |{{formula}}h''(x) {{/formula}}|48|18|0|-6|0|18|48
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29 Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung, ohne Funktionsterme zu berechnen.
30 1. //P(-1|2)// liegt auf //K//.
31 1. //K// besitzt zwei Wendepunkte
32 1. //K// besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente
33 {{/aufgabe}}
34
35 {{aufgabe id="Extremstellen und Extrempunkte bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5,K1" quelle="Caroline Leplat" zeit="20"}}
36 Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+\frac{4}{3}x^3{{/formula}}
37 (%class=abc%)
38 1. Gib alle Stellen an, an der die Funktion mögliche Extremstellen besitzt und begründe, warum eine der Stellen keine Extremstelle ist.
39 1. Berechne den Hochpunkt und den Tiefpunkt des Schaubilds der Funktion //f//.
40 {{/aufgabe}}
41
42 {{aufgabe id="Innermathematisch A" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Tobias Großmann" zeit="15"}}
43 Gegeben ist eine Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=x^3-6x^2+9x{{/formula}}.
44 (%class=abc%)
45 1. Zeige, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} einen Extrempunkt besitzt, der auf der {{formula}}x{{/formula}}-Achse liegt.
46 1. Berechne die minimale momentane Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}}.
47 {{/aufgabe}}
48
49 {{aufgabe id="Querschnitt eines Kanals" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K5,K6" quelle="modifiziert Abitur 2019 Anwendungsorientierte Analysis" zeit="20"}}
50 Ein Ingenieurbüro plant den Bau eines 15 Meter (m) langen, geraden Kanals, der einen gleichbleibenden Querschnitt aufweist. Das Koordinatensystem wird im Modell so gelegt, dass T(0|0) den tiefsten Punkt des Querschnitts darstellt. Die
51 Randkurve des Querschnitts wird beschrieben durch die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=\frac{-1}{16}x^4 + \frac{3}{4}x^2{{/formula}}, wobei x im Bereich der Breite des Kanals liegt und ebenso wie {{formula}} f(x){{/formula}} in Meter gemessen wird.
52 (%class=abc%)
53 1. Begründe, dass die Funktion f symmetrisch zur y-Achse ist.
54 1. Berechne den höchstmöglichen Wasserstand des Kanals.
55 1. Gib die maximale Breite des Kanals an.
56 {{/aufgabe}}
57
58 {{aufgabe id="Aussagen zu Polynomfunktion 3. Grades" afb="II" kompetenzen="K1, K4" quelle="KMap" zeit="5"}}
59 Welche der nachfolgenden Aussagen sind wahr?
60 Eine Polynomfunktion 3. Grades...
61 ☐ hat immer zwei Extrempunkte!
62 ☐ kann auch mal nur einen Extrempunkt haben!
63 ☐ kann auch mal keinen Extrempunkt haben!
64 ☐ hat immer genau einen Wendepunkt!
65 ☐ hat entweder einen Sattelpunkt oder zwei Extrempunkte!
66 {{/aufgabe}}
67
68 {{aufgabe id="Aussagen Sattelstelle" afb="II" kompetenzen="K1, K4" quelle="KMap" zeit="5"}}
69 Welche der nachfolgenden Aussagen über Sattelstellen sind wahr?
70 ☐ Eine Sattelstelle hat eine waagrechte Tangente.
71 ☐ An einer Sattelstelle hat die Steigungsfunktion ein Maximum oder ein Minimum.
72 ☐ An einer Sattelstelle gibt es immer auch einen Krümmungswechsel.
73 ☐ Eine Sattelstelle ist auch eine Wendestelle.
74 ☐ Eine Sattelstelle kann auch eine Maximalstelle sein.
75 {{/aufgabe}}
76
77 {{aufgabe id="Zuordnung" afb="I" kompetenzen="K4,K6" quelle="Holger Engels, Kim Fujan" zeit="10"}}
78 [[image:Zuordnung.svg||style="float:right;width:450px"]]Die Schaubilder gehören zu den Funktionen {{formula}}f{{/formula}}, {{formula}}f'{{/formula}} und {{formula}}f''{{/formula}}. Ordne zu und begründe Deine Zuordnung.
79 {{/aufgabe}}
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81 {{aufgabe id="Trigonometrische Funktionen angeben" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Martina Wagner" zeit="12"}}
82 Gib jeweils eine mögliche trigonometrische Funktion, welche die in der Tabelle aufgelisteten Eigenschaften erfüllt. Dabei steht H für Hochpunkt, T für Tiefpunkt und W für Wendepunkt.
83 (%class="border" style="text-align:center"%)
84 |Eigenschaft(en) |Funktionsterm
85 |{{formula}}W(0|0) {{/formula}}|
86 |{{formula}}W(0|0){{/formula}} und {{formula}} H(1|1){{/formula}}|
87 |{{formula}}T(0|0){{/formula}} und {{formula}} W(1|1){{/formula}}|
88 |{{formula}}W(1|1){{/formula}} und {{formula}} H(4|4){{/formula}}|
89 {{/aufgabe}}
90
91 {{aufgabe id="Verknüpfte Funktionen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martina Wagner" zeit="10"}}
92 Gegeben sind die beiden Funktionen g und h.
93 (%class="border" style="text-align:center"%)
94 |Funktionsterm |{{formula}}g(x)= (2x-1)\cdot e^{2x-1}{{/formula}}| {{formula}}h(x)=-2x+1+e^{2x-1}{{/formula}}
95 |Erste Ableitung|{{formula}}g'(x)= 4x\cdot e^{2x-1}{{/formula}}|
96 |Zweite Ableitung||{{formula}}h''(x)=4e^{2x-1}{{/formula}}
97
98 (%class=abc%)
99 1. Bestimme die fehlenden Eintragungen der Tabelle.
100 1. Beurteile, ob folgende Aussage wahr ist: An der Stelle, an der der Graph von h einen Tiefpunkt hat, hat der Graph von g seinen Wendepunkt.
101
102 {{/aufgabe}}
103
104 {{aufgabe id="Verkettete Funktion" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Martina Wagner" niveau= "e" zeit="5"}}
105 Von einer Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist die erste Ableitung gegeben mit {{formula}}f'(x)=({sin(0,5\pi x)})^2{{/formula}}.
106 Untersuche, ob der Graph von f eine Extremstelle im Intervall [0;4] besitzt.
107 {{/aufgabe}}
108
109 {{aufgabe id="Ableitungsfunktion gegeben" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Martina Wagner, Holger Engels" niveau= "e" zeit="7"}}
110 Von einer Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist die erste Ableitung gegeben mit {{formula}}g'(x)=e^{-x^2+2x}(-2x+2){{/formula}}.
111 Bestimme die Koordinaten der Wendepunkte.
112 {{/aufgabe}}
113
114 {{aufgabe id="Nullstellen der Ableitungsfunktionen" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
115 Gegenstand der Betrachtung sei eine Polynomfunktion //f//, ihre ersten beiden Ableitungen und ihr Graph //K,,f,,// an der Stelle //x,,0,,//. Gib für jedes Kästchen an, ob es sich um eine Extremstelle (ES), Wendestelle (WS), Sattelstelle (SS), einen normalen Kurvenpunkt (╱) handelt, oder ob die Kombination evtl. widersprüchlich ist (↯).
116 (%class="border" style="text-align:center"%)
117 |(%colspan=2 rowspan=2 style="vertical-align:middle"%)an der Stelle
118 //x,,0,,// hat|(%colspan=3%){{formula}}f'{{/formula}}
119 |(%width=90%)keine NS|NS mit VZW|NS ohne VZW
120 |(%rowspan=3 style="vertical-align:middle"%){{formula}}f''{{/formula}}|keine NS|||
121 |NS mit VZW|||
122 |NS ohne VZW|||
123 {{/aufgabe}}
124
125 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}