Lösung Innermathematisch A
Version 7.1 von Melanie Krebs am 2026/03/16 22:17
a) Um mögliche Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die erste Ableitung gleich 0:
\[\begin{align*}
f^\prime(x)=3x^2-12x+9 = 0
\Leftrightarrow x^2-4x+3=0
\end{align*}\]
Mit der Mitternachtsformel ergibt sich
\[\begin{align*}
x_{1,2} &= \frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3}}{2} \\
&= \frac{4\pm\sqrt{4}}{2}= \frac{4\pm 2}{2} \\
\implies &x_1=1, x_2=3
\end{align*}\]
Es ist \(f^{\prime\prime}(x)= 6x-12\) und
\(f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0\). Somit liegt bei \(x=3\) tatsächlich eine Extremstelle vor. Da \(f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0\), besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)).
b) Die minimale momentane Änderungsrate (d.h. minimale erste Ableitung) entspricht der Steigung an der Wendestelle, das heißt:
\(f^{\prime\prime}(x)=0 für x=2 \)
\(f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \).
(Allgemein liegt an einem Wendepunkt die größte/kleinste momentane Änderungsrate vor, da dort die erste Ableitung ihr Maximum/Minimum hat.)