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Wiki-Quellcode von Lösung Innermathematisch A

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/10/13 15:16
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akukin 1.1 1 a) Um mögliche Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die erste Ableitung gleich 0:
akukin 2.1 2
akukin 1.1 3 {{formula}}
4 \begin{align*}
5 f^\prime(x)=3x^2-12x+9 = 0
6 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0
7 \end{align*}
8 {{/formula}}
9
10 Mit der Mitternachtsformel ergibt sich
11
12 {{formula}}
13 \begin{align*}
14 x_{1,2} &= \frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3}}{2} \\
15 &= \frac{4\pm\sqrt{4}}{2}= \frac{4\pm 2}{2} \\
16 \implies &x_1=1, x_2=3
17 \end{align*}
18 {{/formula}}
19
20 Es ist {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12{{/formula}} und
21 {{formula}}f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0{{/formula}}. Somit liegt bei {{formula}}x=3{{/formula}} tatsächlich eine Extremstelle vor. Da {{formula}}f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0{{/formula}}, besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)).
22
Holger Engels 4.1 23 b) Die minimale momentane Änderungsrate (d.h. minimale erste Ableitung) enstpricht der Steigung an der Wendestelle, das heißt: {{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 {{/formula}}.
akukin 1.1 24
akukin 3.1 25 (Allgemein liegt an einem Wendepunkt die größte/kleinste momentane Änderungsrate vor, da dort die erste Ableitung ihr Maxmimum/Minimum hat.)