BPE 12.7 Monotonie

1  Warum sind einige Aussagen wahr oder falsch?  (4 min) 𝕃

Gegeben ist eine Funktion \(f\).
Beurteile die folgenden Aussagen und begründe deine Entscheidung:

1. Wenn \(f^′(x)≥0\) gilt, ist \(f\) streng monoton steigend.
2. Eine Funktion mit nur einer Nullstelle der Ableitung ist streng monoton.
3. Ist \(f^′(x)>0\) für alle \(x\), so besitzt \(f\) keine Extremstellen.
4. Eine streng monoton steigende Funktion kann einen Wendepunkt besitzen.

2  Monotoniebereiche bestimmen  (10 min) 𝕃

Gib die Monotoniebereiche der Funktionen \(f(x)\) an: 

1. \(f(x)=\frac{1}{8}(\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-50x+32)\)
2. \(g(x)=e^{(2x+1)}(x-1)\)
3. \(h(x)=ae^{(-x-5)}x^2;~ a \neq 0\)

3  Skizzieren mithilfe der Monotonie  (9 min)

Gegeben sind folgende Aussagen über die Funktion \(f(x)\):

1. Für \(x \in [-\infty;-3]\) gilt: \(f’(x)\)>0
2. Für \(x \in [-3;2]\) gilt: \(f’(x)\)<=0
3. Für \(x \to \infty\) gilt:\( f(x) \to 0\).

1. Gib für jede Aussage das entsprechende Monotonieverhalten an.
2. Skizziere mithilfe der Aussagen ein mögliches Schaubild der Funktion \(f(x)\).

4  Aus Schaubild der Ableitung  (10 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph von \(f'\).

Beurteile die folgenden Aussagen:

1. Für \(x \in [2;3]\) ist der Graph von \(f\) monoton fallend.
2. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt des Graphen von \(f'\) ist der Graph der Funktion \(f\) monoton fallend.
3. Es gilt: \(f(-2)<f(0)\)
4. Für \(x<-2\) gilt: \(f''(x) > 0\)

5  Monotonie  (25 min) 𝕃

f bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich D knickfreie Funktion.

Streng steigende Monotonie ist für f wie folgt definiert:
Wenn für alle \(a, b \in \textbf{D}\) mit \(a<b\) gilt: \(f(a)<f(b)\), heißt f streng monoton steigend.

Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können:
Wenn für alle \(x \in \textbf{D}\) gilt: \(f'(x)>0\), dann ist f streng monoton steigend.

Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion f folgende Aussage:
Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn \(f'(x)>0\) nicht für alle \(x \in \textbf{D}\) gilt.

6  Freier Fall  (6 min) 𝕃

Die Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall wird in einem vereinfachten Modell durch die Funktion \(v\) mit

beschrieben mit den positiven Konstanten \(m, g, \beta \). Zeige, dass die Geschwindigkeit stets zunimmt.

Quelle: Wikipedia Fall mit Stokes-Reibung: Bei kleinen Geschwindigkeit ist die Luftreibung proportional zur Fallgeschwindigkeit.