Änderungen von Dokument Lösung Monotonie

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium {{formula}} f'(x)>0 {{/formula}} für alle //x// verletzen.
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4		-* Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)>f(b){{/formula}} , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
	4	+* Sobald es einen //x//-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)>f(b){{/formula}} , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
5	5	Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen //x//-Wert mit negativer Steigung haben.
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7	7	* Sobald ein ganzes Intervall {{formula}} [a,b]{{/formula}} (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)=f(b){{/formula}} , und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
8	8	Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.
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10		-[[image:f(x)=x^3 0,1.png ||style="float: right" width="200"]]
	10	+[[image:x^3.png||style="float: right" width="350"]]
11	11	* Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter //x//-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man {{formula}} f(x)=x^3 {{/formula}} an der Stelle {{formula}} x=0 {{/formula}} betrachten.)
12		-Wegen a<b muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um //x// betrachtet werden. Da außer //x// alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt {{formula}} f(a)<f(b){{formula}} , und //f// bleibt streng monoton steigend.
	12	+Wegen {{formula}}a<b{{/formula}} muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um //x// betrachtet werden. Da außer //x// alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt {{formula}} f(a)<f(b){{/formula}} , und //f// bleibt streng monoton steigend.
13	13	Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.
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	15	+
	16	+
	17	+
15	15	Die Aussage ist also wahr, z. B. für {{formula}} x=0{{/formula}} bei //f// mit {{formula}} f(x)=x^3{{/formula}} .
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	20	+
	21	+
	22	+
	23	+[[image:x^3mitAbleitung.png||style="float: right" width="300"]]
17	17	__Bemerkung:__ Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.
18	18	__
19		-Weitere Bemerkung:__ Man kann auch durch Aufleitung von f‘ argumentieren: Für alle a<b gilt \int_{a}^{b}{f^\prime\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)>0}, denn der Graph K von f\prime bildet in jedem Intervall [a;b] eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt f\left(b\right)>f(a).
	26	+Weitere Bemerkung:__ Man kann auch durch Aufleitung von {{formula}}f'{{/formula}} argumentieren: Für alle {{formula}}a<b{{/formula}} gilt {{formula}}\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)>0{{/formula}}, denn der Graph //K// von {{formula}}f'{{/formula}} bildet in jedem Intervall {{formula}}[a,b] {{/formula}}eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn //K// einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt {{formula}} f(b)<f(a){{/formula}} .
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