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Wiki-Quellcode von Lösung Integralfunktion2

Version 2.1 von akukin am 2023/11/16 16:42
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1 Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium f^\prime\left(x\right)>0 für alle x verletzen.
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3 Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: a<b => f\left(a\right)>f(b), weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
4 Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen x-Wert mit negativer Steigung haben.
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6 Sobald ein ganzes Intervall [a,b] (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: a<b => f\left(a\right)=f(b), und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
7 Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.
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9 Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter x-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man f\left(x\right)=x^3 an der Stelle x=0 betrachten.)
10 Wegen a<b muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um x betrachtet werden. Da außer x alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt f\left(a\right)<f(b), und f bleibt streng monoton steigend.
11 Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.
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13 Die Aussage ist also wahr, z. B. für x=0 bei f mit f(x)=x³.
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15 Bemerkung: Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.
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17 Weitere Bemerkung: Man kann auch durch Aufleitung von f‘ argumentieren: Für alle a<b gilt \int_{a}^{b}{f^\prime\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)>0}, denn der Graph K von f\prime bildet in jedem Intervall [a;b] eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt f\left(b\right)>f(a).