Änderungen von Dokument Lösung Annäherung

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	1	+
	2	+[[image:cos und pot.png||width="300" style="float: right"]] a) //a// wird in Abhängigkeit von //q// so gewählt, dass {{formula}} \frac{\pi}{2}{{/formula}} eine Nullstelle von //g// ist:
	3	+
	4	+{{formula}} g\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)=0 \Leftrightarrow 1 - a \bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q=0{{/formula}}.
	5	+
	6	+Auflösen nach //a// ergibt:
	7	+
	8	+{{formula}} a \cdot \bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q=1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q}=\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^{-q}=\bigl(\frac{2}{\pi}\bigl)^q{{/formula}}.
	9	+
	10	+b) Idee: Wenn //f// und //g// wie im Beispiel der Zeichnung keine Schnittpunkte in {{formula}}]0;\frac{\pi}{2}[{{/formula}} haben, dann ist ein kleiner Flächeninhalt zwischen den Graphen ein gutes Maß für eine kleine Abweichung zwischen den Graphen.
	11	+Wenn //f// und //g// hingegen einen oder mehrere Schnittpunkte in {{formula}}]0;\frac{\pi}{2}[{{/formula}} haben, dann müssen aufgrund der Schnittpunkte bei 0 und π/2 und aufgrund der Rechtskrümmung beider Graphen die Teilflächen zwischen den Kurven klein sein und auch dann liegt eine gute Annäherung vor.
	12	+
	13	+c) Das Integral muss in Abhängigkeit von q ausgerechnet werden und soll dann möglichst klein sein:
	14	+
	15	+{{formula}}
	16	+ \begin{align}
	17	+ & \int_0^{\pi/2}f(x)-g(x)dx \\
	18	+ &= \int_0^{\pi/2}\cos(x)-1+ \Bigl(\frac{2}{\pi}\Bigl)^q x^q dx\\
	19	+ &= \int_0^{\pi/2}\cos(x)+ \Bigl(\frac{2}{\pi}\cdot x \Bigl)^q - 1 dx\\
	20	+ &= \Bigl[\sin(x) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1}\Bigl(\frac{2}{\pi}x\Bigl)^{q+1}-x\Bigl]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
	21	+ &= \sin\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigl) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1}\cdot 1^{q+1}- \frac{\pi}{2}-(\sin(0) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1} \cdot 0^{q+1}-0) \\
	22	+ &= 1 +\frac{\frac{\pi}{2}}{q+1} - \frac{\pi}{2} \\
	23	+ &= 1 + \frac{\pi}{2} \Bigl(\frac{1}{q+1}-1 \Bigl)
	24	+ \end{align}
	25	+{{/formula}}
	26	+
	27	+Nullsetzen und Auflösen oder Wertetabelle mit WRT führt zu einer Nullstelle bei {{formula}} q= \frac{1}{1-\frac{2}{\pi}} -1 \approx 1,751 {{/formula}}.
	28	+Für dieses //q// ist das Integral also gleich Null.
	29	+
	30	+Bonus:
	31	+[image:Bonusplot.png||width="300"]]
	32	+
	33	+Schnittstelle laut Geogebra: {{formula}} x_S \approx 0,87018353{{/formula}}
	34	+
	35	+{{formula}}\Bigl| \int_0^{0,78018353} f(x)-g(x) dx \Bigl| \approx 0,0066166 \Rightarrow A_{ges} = 0,01323321{{/formula}}
	36	+
	37	+Es folgt eine durchschnittliche Abweichung von {{formula}} \frac{A_{ges}}{\pi/2} \approx 0,0084245{{/formula}}
	38	+