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Lösung Hängebrücke

Version 7.1 von akukin am 2024/03/26 17:44

    • r(x)=0 \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{11}\cdot (32-x)=0 \ \Leftrightarrow \ x=32
      Das Abspannseil und damit auch die Fahrbahn enden also rechts an der Stelle x=32. Da die Brücke achsensymmetrisch ist und somit links vom Ursprung genauso lang ist wie rechts und die Längeneinheit im Koordinatensystem 10m entspricht, gilt für die Länge:
      2 \cdot 32 \cdot 10 \text{m}=640 \text{m}
      Somit ist die  Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m lang.
    • Aus Symmetriegründen gilt l(x)=r(-x). Aus Teilaufgabe a ist bereits bekannt, dass die Fahrbahn an der Stelle {{formula}}x=-32{{/formula}} beginnen muss. Aus dem Aufgabentext geht hervor, dass die Pfeiler einen Abstand von 400m haben. Es gilt somit für den Abstand von Fahrbahnbeginn zum linken PFeiler: {{formula}}\frac{640\text{m}-400\text{m}}{2}=120 \text{m} \equiv 12 \text{LE}{{/formula}}. Dadurch ergibt sich das Intervall {{formula}}\left[-32;-20\right]{{/formula}} 1*. {{formula}}r(20)\cdot 10 \text{m}+20 \text{m} \approx 70 \text{m}{{/formula}} 1*. {{formula}}r^\prime(x)=-\frac{23}{100}\cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}{{/formula}} {{formula}}\tan(\alpha)=r^\prime(20){{/formula}} liefert für die gesuchte Winkelgröße {{formula}}90^\circ + \alpha \approx 56^\circ {{/formula}} 1*. {{formula}}\int\limits_{20}^{32} r(x) \mathrm{d}x=\frac{253}{100}\cdot \left[-11 \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}-x\right]_{20}^{32} \approx 25{{/formula}} Der Flächeninhalt beträgt etwa {{formula}}2500 \text{m}^2{{/formula}}. (% style="list-style:" start="2" %) 1. (% style="list-style: lower-alpha" %) 1*. Der Funktionsterm ist ganzrational und enthält Potenzen von x ausschließlich mit geradzahligen Exponenten. 1*. {{formula}}s(x)-s(x-4)=0,5 {{/formula}} 1*. Mit dem Term kann die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt berechnet werden. Begründung: Der Term {{formula}}s(-20+1,6\cdot k){{/formula}} gibt für jedes der 24 Halteseile die Länge im Modell an. Der Faktor 10 berücksichtigt den verwendeten Maßstab. 1*. Die Lösung der Gleichung ermöglicht die Berechnung des Abstands desjenigen Punktes des rechten Pfeilers zum Tragseil, der auf der Höhe der Fahrbahn liegt. Begründung: Die Lösung der Gleichung ist die x-Koordinate desjenigen Punkts {{formula}}P{{/formula}} des Graphen von {{formula}}s{{/formula}}, dessen Verbindungsstrecke zum Punkt {{formula}}\left(20|0\right){{/formula}} senkrecht zur Tangente an den Graphen von {{formula}}s{{/formula}} in {{formula}}P{{/formula}} steht. 1*. [[image:LösungHängebrücke.png||width="180" style="float: right"]]Mit {{formula}}\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{20}{\frac{1699}{36}-5}{{/formula}} ergibt für die Länge des Kreisbogens {{formula}}\frac{\beta}{360^\circ}\cdot 2\pi \cdot \left(\frac{1699}{36}-\frac{1}{2}\right)\approx 41,3{{/formula}}. Das Tragseil ist etwa 413m lang.