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Lösung Schalldruck2

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/27 18:58

1.

\begin{align*} \lim_{t\to 0}{h\left(2+t\right)}&=\lim_{t\to 0}{\left(20\cdot\sin{\left(2+t-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)} \\ &=\lim_{t\to 0}{\left(20\cdot\sin{\left(t\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)}=20\cdot\sin{\left(2\right)} \end{align*}

Also gilt: h\left(2\right)= \lim \limits_{t\to0} h\left(2+t\right) und damit hat der Graph von h keinen Sprung, d.h. er ist stetig bei x=2.

LösungSchalldruck2.png

  1. Aus dem Graphen aus Teilaufgabe 1. ist ersichtlich, dass die Hochstelle im Intervall \left[3;4\right] liegt.
    h\left(x\right)=20\cdot\sin{\left(x-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)} \ \text{für} \ 2<x\le4
    h^\prime\left(x\right)=20\cdot\cos{\left(x-2\right)}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{2}+2\approx3,5708
    Nach ca. 3,6 Sekunden ist der Weckton am lautesten.

\begin{align*} \bar{m}&=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{h\left(x\right)\mathrm{d} x} \\ &=\frac{1}{4}\cdot\int_{0}^{4}{h\left(x\right)\mathrm{d} x}=\frac{1}{4}\cdot\int_{0}^{2}{20\cdot\sin{\left(x\right)}\mathrm{d} x}+\frac{1}{4}\cdot\int_{2}^{4}{\left(20\cdot\sin{\left(x-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)\mathrm{d} x} \\ &=5\cdot\left[-\cos{\left(x\right)}\right]_0^2+5\cdot\left[-\cos{\left(x-2\right)}+\sin{\left(2\right)}\cdot x\right]_2^4 \\ &=-10\cdot\cos{\left(2\right)}+10+10\cdot\sin{\left(2\right)}\approx23,25 \end{align*}

Der durchschnittliche Funktionswert von h ist ca. 23.

  1. Es ist erkennbar, dass der rechte der beiden x-Werte x=2 sein muss (oder x=4). Gesucht ist der linke x-Wert:
    h\left(x\right)=h\left(2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \ 20\cdot\sin{\left(x\right)}=20\cdot\sin{\left(2\right)}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\pi-2\ \ \vee\ \ x=2
    Abstand: d=2-\left(\pi-2\right)=4-\pi\approx0,8584
    Der größte Abstand beträgt ca. 0,86 Sekunden.