Wiki-Quellcode von Lösung Sinusgraph
Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 17:20
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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1.1 | 1 | === Teilaufgabe 1 === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | Der Graph {{formula}}G_f{{/formula}}, die <i>x</i>-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der <i>x</i>-Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb. Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ. | ||
| 4 | {{/detail}} | ||
| 5 | |||
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3.1 | 6 | |
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1.1 | 7 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} |
| 8 | Für beide Teilflächen unterhalb der <i>x</i>-Achse gibt es symmetrisch zur jeweiligen Nullstelle eine gleichgroße Teilfläche oberhalb der <i>x</i>-Achse (rot und blau). Die grüne Teilfläche bleibt übrig und zählt positiv zum Integral. | ||
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3.1 | 9 | [[image:Sinusflaecheloesung.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] |
| 10 | <br> | ||
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1.1 | 11 | Die Aufgabe könnte auch rechnerisch gelöst werden: |
| 12 | |||
| 13 | {{formula}} | ||
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4.1 | 14 | \begin{align*} |
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1.1 | 15 | \int_{-2}^{8}{2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\mathrm{d} x}&=\left[-4\cdot\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}\right]_{-2}^8 \\ |
| 16 | &=-4\cdot\cos{\left(4\right)}-\left(-4\cdot\cos{\left(-1\right)}\right) \\ | ||
| 17 | &=-4\cdot\cos{\left(4\right)}+4\cdot\cos{\left(-1\right)} | ||
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4.1 | 18 | \end{align*} |
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1.1 | 19 | {{/formula}} |
| 20 | |||
| 21 | Jedoch ist das Vorzeichen dieses Rechenergebnisses ohne Taschenrechner nur schwer zu ermitteln. | ||
| 22 | |||
| 23 | {{/detail}} | ||
| 24 | === Teilaufgabe 2 === | ||
| 25 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 26 | Wegen {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}, f^\prime\left(0\right)=1{{/formula}} und {{formula}}f\left(0\right)=0{{/formula}} besitzt die Tangente an {{formula}}G_f{{/formula}} im Koordinatenursprung die Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}, die auch die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte beschreibt. | ||
| 27 | {{/detail}} | ||
| 28 | |||
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3.1 | 29 | |
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1.1 | 30 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} |
| 31 | Die Tangentengleichung kann mit folgender Formel ermittelt werden: | ||
| 32 | <br> | ||
| 33 | {{formula}}y=f^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+f\left(u\right){{/formula}} | ||
| 34 | <br> | ||
| 35 | wobei {{formula}}x=u{{/formula}} diejenige Stelle ist, an der die Tangente am Graphen anliegt. | ||
| 36 | <br> | ||
| 37 | Da in unserem Fall die Tangente durch den Ursprung gehen soll, ist {{formula}}u=0{{/formula}} und {{formula}}f\left(u\right)=0{{/formula}}: | ||
| 38 | <br> | ||
| 39 | {{formula}}y=f^\prime\left(0\right)\cdot x{{/formula}} | ||
| 40 | <br> | ||
| 41 | Wir benötigen also nur noch {{formula}}f^\prime\left(0\right){{/formula}}: | ||
| 42 | <br> | ||
| 43 | {{formula}}f\left(x\right)=2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\ \ \Rightarrow\ f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}{{/formula}} | ||
| 44 | <br> | ||
| 45 | {{formula}}f^\prime\left(0\right)=\cos{\left(0\right)}=1{{/formula}} | ||
| 46 | <br> | ||
| 47 | Folglich lautet die Gleichung der Tangente: | ||
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3.1 | 48 | <br> |
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1.1 | 49 | {{formula}}y=x{{/formula}} |
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3.1 | 50 | <br> |
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1.1 | 51 | Zwei Punktproben mit den Punkten {{formula}}\left(-1\middle|-1\right){{/formula}} und {{formula}}\left(1\middle|1\right){{/formula}} liefern wahre Aussagen, das heißt die Punkte liegen auf der Tangente. |
| 52 | {{/detail}} |