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Version 48.3 von Thomas Hermann am 2026/05/13 10:59
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3 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung mithilfe der Integralfunktion geometrisch sowie anschaulich als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff erläutern. {{niveau}}e{{/niveau}}
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von Integrationsgrenzen bei gegebenem Integralwert nutzen
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7 {{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
8 Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
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10 * Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
11 * Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind.
12 * Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.
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14 Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
15 {{/aufgabe}}
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17 {{aufgabe id="Integrale berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Benjamin Kaiser, Debora Kemm" zeit="15"}}
18 [[image:Funktion f(x).png||class=right width=450]](%class="abc" %)
19 1. Berechne das Integral der Funktion {{formula}}f(x) = x^3-2x^2{{/formula}}. Die Grenzen des Integrals sind die beiden Nullstellen. Der Graph der Funktion ist rechts abgebildet.
20 1. Berechne das Integral der folgenden Funktion im Intervall //I[0;3]//{{formula}}g(x) = 2e^{(-3x+1)}{{/formula}}.
21 1. Berechne das Integral von //h(x)// im Intervall //I[0;3]//.
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23 |=x|-1|0| 1|2| 3|4
24 |=h{{{(x)}}}|1,5|0|-1,5|0|7,5|24
25 |=H{{{(x)}}}|2,13|3|2,13|1|4,13|19
26 {{/aufgabe}}
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29 {{aufgabe id="HDI erklären" afb="II" kompetenzen="K4, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="15"}}
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31 Gegeben ist eine stetige Funktion f. Die zugehörige Integralfunktion mit unterer Grenze a ist definiert durch
32 {{formula}}
33 J_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt.
34 {{/formula}}
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36 (%class="abc" %)
37 1. Erläutere in eigenen Worten, was der Funktionswert {{formula}}J_a(x){{/formula}} geometrisch bedeutet. Fertige zur Veranschaulichung eine Skizze an.
38 1. Gib den Wert {{formula}}J_a(a){{/formula}} an und begründe deine Antwort.
39 1. Erläutere den Zusammenhang zwischen {{formula}}J_a{{/formula}}und f.
40 {{/aufgabe}}
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42 {{aufgabe id="HDI anwenden" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="10"}}
43 Ein Schüler behauptet:
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45 "Die Funktion G mit {{formula}}G(x) = \int_2^x f(t)\,dt {{/formula}} und die Funktion H mit {{formula}}H(x) = \int_5^x f(t)\,dt{{/formula}} sind verschiedene Funktionen. Daher kann f nicht gleichzeitig die Ableitung von G und von H sein."
46
47 (%class="abc" %)
48 1. Begründe, unter welchen Voraussetzungen G und H verschiedene Funktionen sind.
49 1. Erkläre, ob die Aussage des Schülers wahr oder falsch ist.
50 {{/aufgabe}}
51
52 {{aufgabe id="Integralfunktion graphisch" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="15"}}
53 Gegeben ist der Graph einer in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion f.
54 [[image:graph_f.png||class=right width=450]]
55 Betrachtet wird die Integralfunktion {{formula}}J_0(x) = \int_0^x f(t)dt {{/formula}}.
56 (%class="abc" %)
57 1. Markiere in der Skizze farbig den Flächeninhalt, der dem Wert {{formula}}J_0(4) {{/formula}} entspricht.
58 1. Entscheide ohne Rechnung, welcher der beiden Funktionswerte {{formula}}J_0(2) {{/formula}} und {{formula}}J_0(4){{/formula}} größer ist.
59 1. Begründe, an welcher Stelle {{formula}}x_0 \in [0;\,7] {{/formula}} die Integralfunktion {{formula}}J_0 {{/formula}} die kleinste Steigung besitzt.
60 1. Begründe, dass {{formula}}J_0 {{/formula}} auf dem Intervall {{formula}}[0;\,7] {{/formula}} streng monoton steigend ist.
61 {{/aufgabe}}
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63 {{aufgabe id="Flächen abschätzen" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" quelle="Thomas Hermann" zeit="5min"}}
64 Gegeben sind die Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen f und g mit {{formula}}f(x)=x\cdot e^x{{/formula}} und
65 {{formula}}g(x)=log_{10}(x+1,5)+1{{/formula}}.
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67 [[image:xEhochxlog.png||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
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69 (%class=abc%)
70 1. Entscheide und begründe, ob {{formula}}\int_{-1}^{1}(x \cdot e^x) dx{{/formula}} größer, gleich oder kleiner 0 ist.
71 {{/aufgabe}}
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73 {{seitenreflexion/}}