Wiki-Quellcode von Lösung Integralfunktion
Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2023/11/20 09:20
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1.1 | 1 | __Erste Teilaufgabe – Begründen, weshalb jede Integralfunktion auch Stammfunktion ist:__ |
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2.1 | 3 | Für jedes {{formula}}a \in \mathbb{D}{{/formula}} gilt:{{formula}} I_a (x)=\int_a^x f(x) dx = F(x)-F(a){{/formula}}. Dabei bezeichnet {{formula}}F{{/formula}} eine beliebige Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}. Da nun {{formula}}F(a){{/formula}} eine reelle Zahl ist, geht der Graph von {{formula}}I_a{{/formula}} aus dem Graph von {{formula}}F{{/formula}} durch Verschiebung um {{formula}}F(a){{/formula}} nach unten hervor und ist somit ebenfalls eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}. |
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1.1 | 4 | |
| 5 | __Zweite Teilaufgabe – Überprüfen: Ist auch jede Stammfunktion eine Integralfunktion?__ | ||
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2.1 | 7 | Es gibt hier verschiedene Herangehensweisen: Man kann eine Funktion skizzieren und verschiedene Stammfunktionen und überlegen: Ist jede dieser Stammfunktionen eine Integralfunktion und falls ja, für welches {{formula}}a{{/formula}}? |
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1.1 | 8 | |
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3.1 | 9 | Durch diese Überlegungen findet man schnell heraus: {{formula}}I_a{{/formula}} muss bei {{formula}}x=a{{/formula}} eine Nullstelle haben. Sobald jedoch eine Stammfunktion nicht ganz {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} als Wertebereich hat (z. B. hat {{formula}}F(x) = x^2{{/formula}} den Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}_0^+{{/formula}}), kann man sie so nach oben oder unten verschieben, dass sie keine Nullstellen besitzt. |
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1.1 | 10 | |
| 11 | Pauls Aussage ist also falsch. | ||
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2.1 | 13 | Es bleibt zu überprüfen, was mit einer Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist, deren Stammfunktionen {{formula}}F{{/formula}} ganz {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} als Wertemenge haben. Dann hat auch jede Stammfunktion F mindestens eine Nullstelle {{formula}}a{{/formula}}. |
| 14 | Somit gilt für die Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} folgende Gleichung: {{formula}}I_a (x)=F(x)-F(a)=F(x){{/formula}}. | ||
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1.1 | 15 | Also ist jede Stammfunktion Integralfunktion. |
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| 17 | Sevdas Aussage ist falsch. Lucie hat recht. | ||
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2.1 | 18 | (Es hängt davon ab, ob die Wertemenge einer Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ganz {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} abdeckt.) |
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1.1 | 19 |