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Wiki-Quellcode von Lösung Integralfunktion

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/20 10:20
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1 __Erste Teilaufgabe – Begründen, weshalb jede Integralfunktion auch Stammfunktion ist:__
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3 Für jedes {{formula}}a \in \mathbb{D}{{/formula}} gilt:{{formula}} I_a (x)=\int_a^x f(x) dx = F(x)-F(a){{/formula}}. Dabei bezeichnet {{formula}}F{{/formula}} eine beliebige Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}. Da nun {{formula}}F(a){{/formula}} eine reelle Zahl ist, geht der Graph von {{formula}}I_a{{/formula}} aus dem Graph von {{formula}}F{{/formula}} durch Verschiebung um {{formula}}F(a){{/formula}} nach unten hervor und ist somit ebenfalls eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
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5 __Zweite Teilaufgabe – Überprüfen: Ist auch jede Stammfunktion eine Integralfunktion?__
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7 Es gibt hier verschiedene Herangehensweisen: Man kann eine Funktion skizzieren und verschiedene Stammfunktionen und überlegen: Ist jede dieser Stammfunktionen eine Integralfunktion und falls ja, für welches {{formula}}a{{/formula}}?
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9 Durch diese Überlegungen findet man schnell heraus: {{formula}}I_a{{/formula}} muss bei {{formula}}x=a{{/formula}} eine Nullstelle haben. Sobald jedoch eine Stammfunktion nicht ganz {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} als Wertebereich hat (z. B. hat {{formula}}F(x) = x^2{{/formula}} den Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}_0^+{{/formula}}), kann man sie so nach oben oder unten verschieben, dass sie keine Nullstellen besitzt.
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11 Pauls Aussage ist also falsch.
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13 Es bleibt zu überprüfen, was mit einer Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist, deren Stammfunktionen {{formula}}F{{/formula}} ganz {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} als Wertemenge haben. Dann hat auch jede Stammfunktion F mindestens eine Nullstelle {{formula}}a{{/formula}}.
14 Somit gilt für die Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} folgende Gleichung: {{formula}}I_a (x)=F(x)-F(a)=F(x){{/formula}}.
15 Also ist jede Stammfunktion Integralfunktion.
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17 Sevdas Aussage ist falsch. Lucie hat recht.
18 (Es hängt davon ab, ob die Wertemenge einer Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ganz {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} abdeckt.)