BPE 13.3 Flächeninhalte, Anwendung

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/20 18:36
Inhalt

K5 Ich kann Flächeninhalte berechnen
K5 K4 Ich kann Flächeninhalte auch im Anwendungskontext berechnen
K5 Ich kann Volumen von Körpern, die durch Rotation um die x-Achse entstehen berechnen  e 
K5 K4 Ich kann Volumen von Körpern auch im Anwendungskontext berechnen  e 
K5 K1 Ich kann elementargeometrische Volumenformeln nachweisen  e 

Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=2+2sin(\frac{\pi}{2}x); x\in\mathbb{R}. Das Schaubild von f ist K.

Zwischen zwei benachbarten Tiefpunkten von K schließen K und die x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

AFB   2Kompetenzen   K5 K4Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   Abitur Hauptprüfung 2012/2013 Teil 1 Aufgabe 1Lizenz   k.A.

Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete 
Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=\frac{1}{x} mit der Defintionsmenge D=[1;\infty[.
 
GabrielHorn.png
a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall I=[1;\infty[ um die x-Achse rotiert.
b) Zeige, dass die Mantelfläche M (Oberfläche des Rotationskörpers) des Rotationskörpers unendlich ist. Hinweis: Schätze die Mantelfläche dazu gegen eine Fläche ab, die kleiner ist als die Mantelfläche, aber immer noch einen unendlichen Wert besitzt. Hierzu bietet sich die harmonische Reihe an für die gilt 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty.
c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung \sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1  für alle x \in \mathbb{R} .

AFB   IIKompetenzen   K4 K5Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Niklas WunderLizenz   CC BY-SA

Gegeben ist die in \mathbb{R}  definierte Funktion f:x\mapsto-x^2+2ax mit a\in\left]1;+\infty\right[. Die Nullstellen von f sind 0 und 2a.

  1. Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von f mit der x-Achse einschließt, den Inhalt \frac{4}{3}a^3  hat.
  2. Der Hochpunkt des Graphen von f liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimme den Wert von a.
    Graph-x^2 2ax.PNG

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Gegeben ist die Schar der in \mathbb{R} definierten Funktionen f_a mit f_a\left(x\right)=ax^3+ax^2 und a\in\mathbb{R}^+.

  1. Gib den Wert von a an, so dass der Punkt \left(1\middle|6\right) auf dem Graphen von f_a liegt.
  2. Berechne in Abhängigkeit von a den Inhalt der Fläche, die der Graph von f_a mit der x-Achse einschließt.

  
Hinweis:
Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.

Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel:
Gegeben ist die in \mathbb{R} definierte Funktion f mit f\left(x\right)=ax^3+ax^2, wobei a\in\mathbb{R}^+ eine feste Zahl ist.

  1. Der Punkt \left(1\middle|6\right) liegt auf dem Graphen von f. Gib den Wert von a an.
  2. Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K2 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Gegeben ist die in \mathbb{R} definierte Funktion f mit f\left(x\right)=x^3-4x.

  1. Begründe, dass der Graph von f symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
  2. Der Graph von f und die x-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechne den Inhalt dieser Fläche.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000000
II000110
III000000
Bearbeitungszeit gesamt: 15 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst