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Lösung Fläche, Quadrat

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/05 12:08
  1. \(f\left(x\right)=-x\left(x-2a\right)\)
    Folglich lauten die beiden Nullstellen von \(f:x_1=0; x_2=2a\)
    Die Abbildung zeigt eine nach oben geöffnete Parabel, die eine Fläche mit der x-Achse einschließt:
    \(A=\int\limits_{0}^{2a}{\left(-x^2+2ax\right)\mathrm{d} x}=\left[-\frac{x^3}{3}+ax^2\right]_0^{2a}=-\frac{8}{3}a^3+4a^3=\frac{4}{3}a^3\)
  2. Bestimmung des Hochpunkts:
    \(f^\prime\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ -2x+2a=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=a\)
    \(f\left(a\right)=a^2\)
    Flächeninhalt des Quadrats:
    \(A_Q=a^2\cdot a^2=a^4\)
    Die Flächeninhalte sollen gleich sein:
    \(A=A_Q\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4}{3}a^3=a^4\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=\frac{4}{3}\)