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Lösung Funktionsschar

Version 1.1 von akukin am 2024/10/02 13:04

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont a=3
Erläuterung der Lösung Die Punktprobe mit \left(1\middle|6\right) liefert den gesuchten Wert von a: f\left(x\right)=ax^3+ax^2
f\left(1\right)=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^3+a\cdot1^2=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2a=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=3

Hinweis: Ein Rechenweg oder eine Begründung ist nicht notwendig, da der Operator „angeben“ verwendet wurde. Es genügt zu schreiben „a=3“.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont f_a\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ ax^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=-1\ \ \vee\ \ x=0

\int_{-1}^{0}{\left(ax^3+ax^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{3}ax^3\right]_{-1}^0=\frac{1}{12}a
Erläuterung der Lösung Zuerst müssen die beiden Nullstellen ermittelt werden, da diese die linken und rechten Grenzen der Fläche und damit des Integrals sind. f\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^3+3x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0 oder x=-1 (Satz vom Nullprodukt)
Zu berechnen ist also folgendes Integral:
\int_{-1}^{0}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\int_{-1}^{0}{\left(3x^3+3x^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{3}{4}x^4+x^3\right]_{-1}^0=0-\left(\frac{3}{4}\cdot\left(-1\right)^4+\left(-1\right)^3\right)=\frac{1}{4}
Folglich ist der gesuchte Flächeninhalt:
A=\frac{1}{4}