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Lösung Gabriels Horn

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2023/10/24 19:07

a) Das Volumen V eines Rotationskörpers lässt sich durch \( V(x)=\pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \;dx \) bestimmen.
Für die gegebene Funktion f erhält man demnach

\[\begin{align*} V(x) &= \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \;dx \\ &= \pi \cdot \int_1^\infty (\frac{1}{x})^2 \;dx \\ &= \pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\;dx \\ &= [-\pi\cdot \frac{1}{x}]_1^\infty \\ &= 0-(-\pi) = \pi \end{align*}\]

Das Volumen des Horns ist also gerade \(\pi\).

b) Baut man eine waagerechte Treppe T mit x-Schrittweite eins und Höhe \(\frac{1}{n+1}\) mit \(n \in \mathbb{N}\) so erhält man als eine Treppe, die garantiert einen kleineren Flächeninhalt besitzt als das Horn. Für dieses gilt \(M(x) > T(x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...= \infty\). Demnach muss das Horn ebenfalls einen unendlichen Flächeninhalt besitzen, wenn schon die kleinere Treppe einen unendlichen Flächeninhalt besitzt.

c) Mit der Mantelformel erhält man \( M(x)=2\,\pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x^4}} \;dx > 2\,\pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x} \; dx= 2\,\pi \cdot [\ln(x)]_1^\infty =\infty \) da   \( \lim_{x\rightarrow \infty} \ln(x)=\infty\) ist.