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Seiteneigenschaften

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1		-Aufgrund des Verlaufes des Graphen lässt sich vermuten, dass es sich entweder um eine trigonometrische Funktion oder eine ungerade ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handelt.
	1	+Aufgrund des Verlaufs des Graphen lässt sich vermuten, dass es sich entweder um eine trigonometrische Funktion oder eine ungerade ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handelt.
2	2
3	3	**1.Trignometrische Funktion:**
4		-Da der gegebene Graph periodisch verläuft, kann man ihn mit einer trigonometrischen Funktion beschreiben.
5		-Weil er durch den Ursprung verläuft, bietet sich als Ansatz die Sinusfunktion an:
6		-{{formula}}a\cdot \sin(b(x-c))+d{{/formula}}
	4	+Da der gegebene Graph periodisch verläuft, kann er durch eine trigonometrischen Funktion beschreiben werden.
	5	+Weil er durch den Ursprung verläuft, bietet sich als Ansatz eine Sinusfunktion an:
	6	+{{formula}}f(x)=a\cdot \sin(b(x-c))+d{{/formula}}
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8	8	Wir bestimmen die einzelnen Parameter:
9		-{{formula}}a{{/formula}}: Die Amplitude ist gegeben durch {{formula}}a=3{{/formula}} (die y-Werte schwanken zwischen -3 und 3).
	9	+{{formula}}a{{/formula}}: Die Funktionswerte liegen zwischen −3 und 3. Somit ist die Amplitude gegeben durch {{formula}}a=3{{/formula}}.
10	10	{{formula}}c{{/formula}} und {{formula}}d{{/formula}}: Da keine Verschiebung vorliegt, ist {{formula}}c=d=0{{/formula}}.
11		-{{formula}}b{{/formula}}: Da an der Stelle {{formula}}x=-1{{/formula}} ein Minimum vorliegt und an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} ein Maximum, beträgt die halbe Periodenlänge {{formula}}2{{/formula}}. Somit ist {{formula}}p=4{{/formula}} und {{formula}}b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}{{/formula}}.
	11	+{{formula}}b{{/formula}}: Zwischen Minimum bei {{formula}}x=−1{{/formula}} und Maximum bei {{formula}}x=1{{/formula}} liegt eine halbe Periode. Somit beträgt die volle Periodenlänge {{formula}}p=4{{/formula}}. Damit ist {{formula}}b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}{{/formula}}.
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13		-Insgesamt: {{formula}}3\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right){{/formula}}
	13	+Insgesamt: {{formula}}f(x)=3\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right){{/formula}}
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15	15	**2.Ganzrationale Funktion:**
	16	+Da der Graph zwei Extremstellen besitzt (an der Stelle {{formula}}x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=1{{/formula}}), muss die Funktion mindestens dritten Grades sein.
	17	+Zudem ist der Graph (näherungsweise) punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher enthält der Funktionsterm nur ungerade Potenzen.
	18	+Wir wählen als Ansatz: {{formula}}f(x)=a_1x^3+a_3x{{/formula}}.
	19	+Aus dem Schaubild können wir beispielsweise die Punkte {{formula}}(1|3){{/formula}} und {{formula}}(-2|0){{/formula}} entnehmen. Diese setzen wir in den Funktionsterm ein und erhalten folgendes Gleichungssystem:
	20	+{{formula}}
	21	+\begin{align*}
	22	+ 3&=a_1+a_3 \\
	23	+ 0&=-8 a_1-2a_3
	24	+\end{align*}
	25	+{{/formula}}
	26	+Dieses lösen wir und erhalten {{formula}}a_1=-1{{/formula}} und {{formula}}a_3=4{{/formula}}.
	27	+
	28	+Somit:
	29	+{{formula}}f(x)=-x^3+4x{{/formula}}
	30	+
	31	+**Hinweis:** Der Funktionsterm ist nicht eindeutig bestimmt, da aus dem dargestellten Graphen nur ein Ausschnitt gegeben ist und somit nicht alle Eigenschaften der Funktion eindeutig festgelegt sind.