Änderungen von Dokument Lösung Polynomfunktion Grad 4

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

...	...	@@ -1,14 +1,35 @@
1	1	Vierter Grad bedeutet, dass die Funktion die Form {{formula}}f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0{{/formula}} besitzt.
2		-Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h. {{formula}}f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0{{/formula}}.
3		-Weiterhin gilt: {{formula}}f^\prime(2)=0{{/formula}} (Hochpunkt bei {{formula}}x=2{{/formula}})
4		-{{formula}}f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0 {{/formula}} (Gleichung (I))
5		-Ebenso gilt (Tangente der Steigung 24 bei {{formula}}x=1{{/formula}}): {{formula}}f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =14{{/formula}} (Gleichung (II))
	2	+Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h.
	3	+{{formula}}f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0{{/formula}}
	4	+{{formula}}f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x{{/formula}}
6	6
7		-Aus (I) folgt {{formula}}4\cdot a_2= 32\cdot a_4 \ \Leftrightarrow a_2 = 8\cdot a_4{{/formula}}.
8		-Einsetzen von {{formula}} a_2 = 8\cdot a_4{{/formula}} in (II): {{formula}}4\cdot a_4 +2\cdot (8\cdot a_4) = 20 \cdot a_4=24 \Leftrightarrow a_4= \frac{24}{20}=\frac{6}{5}{{/formula}}.
	6	+**Bedingungen und Gleichungen:**
	7	+{{formula}}f^\prime(2)=0 \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0{{/formula}}
	8	+{{formula}}f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =14{{/formula}}
	9	+{{formula}}f(1)=9 \implies f(1)=a_4+a_2+a_0=9{{/formula}}.
9	9
10		-Damit ist {{formula}}a_4=\frac{6}{5}{{/formula}} und {{formula}} a_2 = 8\cdot a_4= 8 \cdot \frac{6}{5}=\frac{48}{5}{{/formula}}.
	11	+{{formula}}
	12	+\left(
	13	+\begin{array}{ccc|c}
	14	+ 1 & 1 & 1 & 9 \\
	15	+ 2 & 1 & 0 & 12 \\
	16	+ 8 & 1 & 0 & 0
	17	+\end{array}
	18	+\right)
	19	+{{/formula}}
11	11
12		-Zudem ist bekannt, dass {{formula}}f(1)=9{{/formula}} und damit {{formula}}f(1)=a_4+a_2+a_0=\frac{6}{5}+\frac{48}{5}+a_0=9 \Leftrightarrow a_0=-\frac{9}{5}{{/formula}}.
	21	+Wir erzeugen eine Null in der zweiten Spalte in der 3. Zeile (-II + III)
	22	+{{formula}}
	23	+\left(
	24	+\begin{array}{ccc|c}
	25	+ 1 & 1 & 1 & 9 \\
	26	+ 2 & 1 & 0 & 12 \\
	27	+ 6 & 0 & 0 & -12
	28	+\end{array}
	29	+\right)
	30	+{{/formula}}
13	13
14		-Die Funktionsgleichung lautet damit insgesamt {{formula}}f(x)=\frac{6}{5}x^4+\frac{48}{5}x^2-\frac{9}{5}{{/formula}}.
	32	+Aus III: {{formula}}6a_4 = -12 \implies a_4=-2{{/formula}}
	33	+Aus II: {{formula}}-4 + a_2 = 12 \implies a_2=16{{/formula}}
	34	+Aus I: {{formula}}-2 + 16 + a_0 = 9 \implies a_0=-5{{/formula}}
	35	+Die Funktionsgleichung lautet damit insgesamt {{formula}}f(x)=-2x^4+16x^2-5{{/formula}}.