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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,39 +1,16 @@
1		-[[image:Kirchenfenster.PNG||width="250" style="float: right"]]
	1	+[[image:L16.png]]
	2	+[[image:L17.png]]
	3	+[[image:L18.png]]
2	2
3		-Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
4		-
5	5	{{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}}
6	6	{{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
7	7	{{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}}
8	8	{{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
9	9
10		-Die Hauptbedingung lautet
11		-{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
	10	+Hauptbedingung:
	11	+{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}
12	12
13		-Die Nebenbedingung lautet
14		-{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
	13	+Nebenbedingung:
	14	+{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}
15	15
16		-Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17	17	{{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
18		-
19		-Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion
20		-
21		-{{formula}}
22		-\begin{align*}
23		-L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
24		-&=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
25		-\end{align*}
26		-{{/formula}}
27		-
28		-Mit den ersten beiden Ableitungen
29		-{{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
30		-{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
31		-
32		-Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
33		-{{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
34		-und somit folgt nach Umstellen{{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
35		-
36		-Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden
37		-{{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
38		-
39		-