Änderungen von Dokument Lösung Fluß
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... ... @@ -1,10 +1,10 @@ 1 -[[image:Fluss.PNG||width="2 20" style="float: right"]]1 +[[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]] 2 2 3 3 __Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}} 4 4 Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}}; 5 5 Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}} 6 6 7 -__Gesucht:__ x 7 +__Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}} 8 8 9 9 Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung: 10 10 {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}} ... ... @@ -16,6 +16,26 @@ 16 16 Somit lautet die Zielfunktion: 17 17 {{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}} 18 18 19 +mit den Ableitungen 19 19 21 +{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}} 22 +{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}} 20 20 24 +Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich 21 21 26 +{{formula}} 27 +\begin{align*} 28 +&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\ 29 +\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ 30 +\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\ 31 +\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\ 32 +\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\ 33 +\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\ 34 +\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} & 35 +\end{align*} 36 +{{/formula}} 37 + 38 +Aufgrund des Zusammenhanges kommt nur die positive Lösung in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt 39 +{{formula}}S''\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum 40 + 41 +{{formula}}S\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}