Änderungen von Dokument Lösung Fluß
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Zusammenfassung
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... ... @@ -4,7 +4,7 @@ 4 4 Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}}; 5 5 Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}} 6 6 7 -__Gesucht:__ Wie groß muss{{formula}}x{{/formula}}sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt?7 +__Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}} 8 8 9 9 Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung: 10 10 {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}} ... ... @@ -22,39 +22,14 @@ 22 22 {{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}} 23 23 24 24 Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich 25 - 26 26 {{formula}} 27 27 \begin{align*} 28 - &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\:0&\: \mid +1\\29 -\ Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\:1&\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\30 - \Leftrightarrow &\:6x&=&\:\sqrt{500^2+x^2}&\: \mid ()^2 \\31 - \Leftrightarrow &\:36x^2&=&\:500^2+x^2&\: \mid -x^2 \\32 - \Leftrightarrow &\:35x^2&=&\:500^2&\: \mid :35 \\33 - \Leftrightarrow &\:x^2&=&\:\frac{500^2}{35}&\: \mid \sqrt \\34 - \Leftrightarrow &\:x_{1,2}&=&\:\pm \frac{100\sqrt{35}}{7}&27 +\frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1=0 \mid +1\\ 28 +\frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}= 1 \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ 29 +6x = \sqrt{500^2+x^2} \mid ()^2 \\ 30 +36x^2= 500^2+x^2 \mid -x^2 \\ 31 +35x^2 = 500^2 \mid :35 \\ 32 +x^2 = \frac{500^2}{35} \mid \sqrt \\ 33 +x_1,2 = \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} 35 35 \end{align*} 36 36 {{/formula}} 37 - 38 -Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt 39 -{{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum 40 - 41 -Einsetzen in die Zielfunktion liefert 42 - 43 -{{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}. 44 - 45 -An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man 46 -{{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}. 47 - 48 -Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}). 49 - 50 -Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein: 51 -{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}} 52 -{{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}} 53 -{{formula}}\overline{AD} + \overline{DC} 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}} 54 - 55 -Für die Dauer ergibt sich jeweils 56 -{{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}} 57 -{{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}} 58 - 59 -Und damit insgesamt 60 -{{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} 13 min 11 sec