Änderungen von Dokument Lösung Rechteck unter Parabel

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

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1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.martinstern

Inhalt

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1		-**Lösungsschritte:**
2		-
3		-1. Passende Skizze zeichnen und Aufgabe veranschaulichen.
4		-1. Man schreibt sich auf, was gesucht wird und gibt den Ausgangsgrößen und Unbekannten (Variablen) Namen (zum Beispiel: a,x, A, F, V).(Skizze bei komplexen Aufgaben hilfreich)
5		-1. Die Hauptbedingungen mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
6		-1. Nebenbedingungen herausfinden und als Funktion beschreiben.
7		-1. Die Zielfunktion besteht meistens aus mehreren voneinander unabhängigen Ausdrücken. Dann setzt man die Nebenbedingungen in die Hauptfunktion ein.
8		-Ziel: nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion.
9		-1. Dann die erste Ableitung Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
10		-1. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
11		-1. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
12		-
13		-
14		-[[image:PlotRechteckunterParabel.PNG||width="250" style="float: right"]]
15		-
16		-Die **Hauptbedingung** lautet
17		-{{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}
18		-
19		-und die **Nebenbedinung**
20		-{{formula}}v=-1,25u^2+5{{/formula}}
21		-
22		-Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die **Zielfunktion**
23		-{{formula}}A(u)=2u\cdot (-1,25u^2+5)=-2,5u^3+10u{{/formula}}
24		-
25		-mit den Ableitungen
26		-{{formula}}A'(u)=-7,5u^2+10{{/formula}}
27		-{{formula}}A''(u)=-15u{{/formula}}
28		-
29		-Erste Ableitung gleich Null setzen:
30		-
31		-{{formula}}
32		-\begin{align*}
33		-A'(u)&=0\\
34		-\Leftrightarrow -7,5u^2+10 &=0\\
35		-\Leftrightarrow u_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{10}{7,5}}\approx \pm 1,15
36		-\end{align*}
37		-{{/formula}}
38		-
39		-Da {{formula}}u_2\approx -1,15{{/formula}} außerhalb des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;2[{{/formula}} liegt, kommt nur die positive Lösung in Frage.
40		-
41		-Einsetzen von {{formula}}u_1 \approx 1,15{{/formula}} in die zweite Ableitung:
42		-{{formula}}A''(1,15) = -17,25 < 0 \rightarrow{{/formula}} **Maximum**
43		-
44		-Es ist {{formula}}A(1,15) \approx 7,70{{/formula}}.
45		-
46		-Für die Randwerte des Definitionsbereiches ergibt sich {{formula}}A(0)=0{{/formula}} und {{formula}}A(2)=0{{/formula}}. Demnach liegt bei {{formula}}u_1\approx 1,15{{/formula}} ein globales Maximum vor.
47		-
48		-Einsetzen von {{formula}}u_1{{/formula}} in die NB liefert
49		-{{formula}}v=-1,25\cdot 1,15^2+5 \approx 3,35{{/formula}}.
50		-
51		-Das heißt, das Rechteck muss die Seitenlängen {{formula}}v=3,35 \text{LE}{{/formula}} und {{formula}}2u=2,3\text{LE}{{/formula}}besitzen, damit der Flächeninhalt maximal ist.
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