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Version 9.1 von akukin am 2024/01/18 12:18
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1 **Lösungsschritte:**
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3 1. Passende Skizze zeichnen und Aufgabe veranschaulichen.
4 1. Man schreibt sich auf, was gesucht wird und gibt den Ausgangsgrößen und Unbekannten (Variablen) Namen (zum Beispiel: a,x, A, F, V).(Skizze bei komplexen Aufgaben hilfreich)
5 1. Die Hauptbedingungen mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
6 1. Nebenbedingungen herausfinden und als Funktion beschreiben.
7 1. Die Zielfunktion besteht meistens aus mehreren voneinander unabhängigen Ausdrücken. Dann setzt man die Nebenbedingungen in die Hauptfunktion ein.
8 Ziel: nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion.
9 1. Dann die erste Ableitung Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
10 1. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
11 1. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
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14 [[image:PlotRechteckunterParabel.PNG||width="250" style="float: right"]]
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16 Die **Hauptbedingung** lautet
17 {{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}
18
19 und die **Nebenbedinung**
20 {{formula}}v=-1,25u^2+5{{/formula}}
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22 Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die **Zielfunktion**
23 {{formula}}A(u)=2u\cdot (-1,25u^2+5)=-2,5u^3+10u{{/formula}}
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25 mit den Ableitungen
26 {{formula}}A'(u)=-7,5u^2+10{{/formula}}
27 {{formula}}A''(u)=-15u{{/formula}}
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29 Erste Ableitung gleich Null setzen:
30
31 {{formula}}
32 \begin{align*}
33 A'(u)&=0\\
34 \Leftrightarrow -7,5u^2+10 &=0\\
35 \Leftrightarrow u_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{10}{7,5}}\approx \pm 1,15
36 \end{align*}
37 {{/formula}}
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39 Da {{formula}}u_2\approx -1,15{{/formula}} außerhalb des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;2[{{/formula}} liegt, kommt nur die positive Lösung in Frage.
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41 Einsetzen von {{formula}}u_1 \approx 1,15{{/formula}} in die zweite Ableitung:
42 {{formula}}A''(1,15) = -17,25 < 0 \rightarrow{{/formula}} **Maximum**
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44 Es ist {{formula}}A(1,15) \approx 7,70{{/formula}}.
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46 Für die Randwerte des Definitionsbereiches ergibt sich {{formula}}A(0)=0{{/formula}} und {{formula}}A(2)=0{{/formula}}. Demnach liegt bei {{formula}}u_1\approx 1,15{{/formula}} ein globales Maximum vor.
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48 Einsetzen von {{formula}}u_1{{/formula}} in die NB liefert
49 {{formula}}v=-1,25\cdot 1,15^2+5 \approx 3,35{{/formula}}.
50
51 Das heißt, das Rechteck muss die Seitenlängen {{formula}}v=3,35 \text{LE}{{/formula}} und {{formula}}2u=2,3\text{LE}{{/formula}}besitzen, damit der Flächeninhalt maximal ist.