Wiki-Quellcode von Lösung Ebenenschar
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/01 17:25
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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2.1 | 1 | === Teilaufgabe 1 === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}} | ||
| 4 | {{/detail}} | ||
| 5 | |||
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2.3 | 6 | |
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2.2 | 7 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} |
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2.1 | 8 | Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung: |
| 9 | <br> | ||
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1.1 | 10 | {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right){{/formula}} |
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2.1 | 11 | <br> |
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1.1 | 12 | Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist: |
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2.1 | 13 | <br> |
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1.1 | 14 | {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}} |
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2.1 | 15 | <br> |
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1.1 | 16 | Für {{formula}}a=-2{{/formula}} stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel. |
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2.1 | 17 | {{/detail}} |
| 18 | |||
| 19 | === Teilaufgabe 2 === | ||
| 20 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 21 | {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} ergibt {{formula}}k=0,5{{/formula}} | ||
| 22 | <br> | ||
| 23 | <br> | ||
| 24 | Das Gleichungssystem | ||
| 25 | <br> | ||
| 26 | |||
| 27 | {{formula}} | ||
| 28 | \begin{align*} | ||
| 29 | &I: \ 2a &=3 \\ | ||
| 30 | &II:\ a-2 &=0,5 | ||
| 31 | \end{align*} | ||
| 32 | {{/formula}} | ||
| 33 | |||
| 34 | besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar. | ||
| 35 | {{/detail}} | ||
| 36 | |||
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2.3 | 37 | |
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2.2 | 38 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} |
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2.1 | 39 | Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein: |
| 40 | <br> | ||
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1.1 | 41 | {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} |
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2.1 | 42 | <br> |
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1.1 | 43 | Anhand der zweiten Zeile (der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten) erkennt man, das {{formula}}k=\frac{1}{2}{{/formula}} sein muss. |
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2.1 | 44 | Setzt man diesen Wert für {{formula}}k{{/formula}} in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem |
| 45 | <br> | ||
| 46 | <br> | ||
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1.1 | 47 | |
| 48 | {{formula}} | ||
| 49 | \begin{align*} | ||
| 50 | &I: \ 2a &=3 \\ | ||
| 51 | &II:\ a-2 &=\frac{1}{2} | ||
| 52 | \end{align*} | ||
| 53 | {{/formula}} | ||
| 54 | |||
| 55 | Dieses LGS besitzt keine Lösung für {{formula}}a{{/formula}}. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein. | ||
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2.1 | 56 | {{/detail}} |