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Lösung Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 17:09
  1. Die Dreiecke \(ABD_k\) und \(ACD_k\) sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da \(|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4\) (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete \(\overline{AD_k}\)). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
  2. Da das Dreieck \(BCD_k\) gleichschenklig mit der Basis \(\overline{BC}\) ist, stellt \(\overline{MD_k}\) eine Höhe dieses Dreiecks dar.
    Der Flächeninhalt berechnet sich durch\(A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \left| \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right| \cdot \left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}+ \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+k^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.\)
  3. Da der Koordinatenursprung nicht in \(L_k\) liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form \(ax_1+bx_2+cx_3 = 4\) schreiben. Mit den Koordinaten von \(B, C\) und \(D_k\) ergibt sich
\[\begin{align*} a\cdot 4 + 0 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow a =1, \\ 0 + b \cdot 4 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow b=1, \\ \text{und} \quad 0 + 0 + c \cdot k &= 4 &\Leftrightarrow c = \frac{4}{k} \end{align*}\]

und damit \(L_k = x_1+x_2+ \frac{4}{k}\cdot x_3 =4\).

4. Für \(k>0\) gilt:

\[\begin{align*} &&\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\ &\Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} &&\mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\ &\Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} &&\mid ()^2 \\ &\Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} && \mid \cdot k^2 \mid :2 \mid -8\\ &\Leftrightarrow &k^2 &= 24 &&\mid \sqrt\\ &\Leftrightarrow & k &= 2\sqrt{6} \end{align*}\]

5. Enthält \(L_k\) den Punkt \(P(1|0|3)\), so gilt \(L_k = 1 + 0 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4\)
(alternativ ergibt sich für  \(R(0|1|3)\) ebenso \(L_k = 0 + 1 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4\)).

6. Für \(4 \leq k < 6\): drei Eckpunkte
Für \(3<k<4\): fünf Eckpunkte
Für \(0<k\leq 3\): vier Eckpunkte

7. \(Q_h\) ist derjenige Punkt der Strecke \(\overline{MD_6}\), der die x3-Koordinate  \(h\) hat.
Die Gleichung \(\vec{x} = \overrightarrow{OM} + \lambda \cdot \overrightarrow{MD_6} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)\) dieser Strecke liefert für \(\lambda = \frac{h}{6}: x_1=x_2= 2- \frac{h}{3}\).

Damit ergibt sich für die Koordinaten des Punktes \(Q_h(2- \frac{h}{3}|2- \frac{h}{3}|h)\).