Änderungen von Dokument Lösung Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt

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1	1	1. Die Dreiecke {{formula}}ABD_k{{/formula}} und {{formula}}ACD_k{{/formula}} sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4{{/formula}} (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete {{formula}}AD_k{{/formula}}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
2	2	1. Da das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig mit der Basis {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist, stellt {{formula}}\overline{MD_k}{{/formula}} eine Höhe dieses Dreiecks dar.
3	3	Der Flächeninhalt berechnet sich durch {{formula}}A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.{{/formula}}
4		-1. Da der Koordinatenursprung nicht in {{formula}}L_k{{/formula}} liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form {{formula}}ax_1+bx_2+cx_3 = 4{{/formula}} schreiben. Mit den Koordinaten von {{formula}}B, C{{/formula}} und {{formula}}D_k{{/formula}} ergibt sich
	4	+1. Da der Koordinatenursprung nicht in {{formula}}L_k{{/formula}} liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form {{formula}}ax_1+bx_2+cx_3 = 4{{/formula}} schreiben. Mit den Koordinaten von {{formula}}B, C{{/formula}} und {{formula}}D_k{{/formula}} ergibt sich {{formula}}a =1, b=1{{/formula}} und {{formula}}c \cdot k = 4 \Leftrightarrow c = \frac{4}{k}{{/formula}}.
5	5
6		-{{formula}}
7		-\begin{align}
8		- a\cdot 4 + 0 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow a =1, \\
9		- 0 + b \cdot 4 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow b=1, \\
10		-\text{und} \quad 0 + 0 + c \cdot k &= 4 &\Leftrightarrow c = \frac{4}{k}
11		-\end{align}
12		-{{/formula}}
13	13
14		-und damit {{formula}}L_k = x_1+x_2+ \frac{4}{k}\cdot x_3 =4{{/formula}}.
15		-1. Für {{formula}}k>0{{/formula}} gilt:
16	16
17		-{{formula}}
18		-\begin{align}
19		-&\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\
20		-\Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} \qquad \qquad \mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\
21		-\Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} \qquad \qquad \mid ()^2 \\
22		-\Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} \\
23		-\Leftrightarrow &k^2 &= 24 \\
24		-\Leftrightarrow & k &= 2\sqrt{6}
25		-\end{align}
26		-{{/formula}}
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