Lösung Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck

Da \(A\) in der x₁x₃-Ebene liegt, \(B\) jedoch nicht, muss \(\overline{AC}\) die zweite Kathete sein und damit \(C\)ebenfalls in der x₁x₃-Ebene liegen.
\(\rightarrow C\left(c_1\left|0\right|c_3\right)\)
Da das Dreieck gleichschenklig ist, müssen die Katheten gleich lang sein:
\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \sqrt{3^2+5^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{c_1^2+c_3^2}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 50=c_1^2+c_3^2\)
Da das Dreieck rechtwinklig ist, muss gelten:
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ -4 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} c_1 \\ 0 \\ c_3 \end{array}\right) = 0 \Leftrightarrow 3c_1-4c_3=0\)
Das nichtlineare Gleichungssystem \(c_1^2+c_3^2=50\ \ \land\ \ 3c_1-4c_3=0\) hat als Lösung:
\(C\left(4\sqrt2\left|0\right|3\sqrt2\right)\)