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Version 39.1 von Hogir Gecer am 2025/12/12 14:05
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1 Ich kann stochastische Sachverhalte mittels Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln darstellen.
2 Ich kann in Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln enthaltenen Informationen interpretieren.
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4 Ich kann die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen und Ereignissen mit geeigneten Methoden berechnen.
5 Ich kann bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.
6 Ich kann Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen.
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8 Laplace-Formel, Gegenereigniss. 3-Mal-Mindestens-Aufgaben, Pfadrregeln, Additionssatz
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10 {{aufgabe id="Bedingte Wahrscheinlichkeiten verstehen (Teil 1)" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="H.Geçer" zeit="10" cc="by-sa"}}
11 In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingten Wahrhscheinlichkeiten in beide Richtungen.
12 a) Formuliere in Worten, was P(A|B) und P(B|A) bedeutet.
13 b) Stelle Vermutungen auf, welche Wahrscheinlichkeit groß und welche klein ist.
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16 1.P(Person ist Mann|Person ist Vater) vs. P(Person ist Vater|Person ist Mann)
17 2.P(Schülerin hat gute Mathe-Note|Schülerin besucht Mathe-LK) vs. P(Schülerin besucht Mathe-LK|Schüler hat gute Mathe-Note)
18 3.P(Straße ist nass|es regnet) vs. P(es regnet|Straße ist nass)
19 4.P(Passagier passiert Sicherheitskontrolle|Passagier fliegt heute) vs. P(Passagier fliegt heute|Passagier passiert Sicherheitskontrolle)
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Bedingte Wahrscheinlichkeiten verstehen (Teil 2)" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="H.Geçer" zeit="10" cc="by-sa"}}
23 In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingten Wahrscheinlichkeiten.
24 a) Formuliere in Worte, was P(A|B) und P(B|A) bedeutet.
25 b) Stelle Vermutungen auf, welche Wahrscheinlichkeit größer ist.
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28 1.Ein Mann hört gerne klassische Musik. Welche bedingte Wahrscheinlichkeit ist größer: dass der Mann ein LKW-Fahrer ist oder dass der Mann ein Literaturprofessor ist.
29 2.Eine Person joggt regelmäßig. Welche bedingte Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person ein Profisportler ist oder dass die Person 18-25 Jahre alt ist.
30 3.Eine Person isst sehr gerne Gemüse. Welche bedingte Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person ein Fußballprofi ist oder dass die Person ein Rentner ist.
31 {{/aufgabe}}
32
33 {{aufgabe id="Hölzchen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" zeit="10" cc="by-sa"}}
34 Tina hält in der Hand lange und kurze Hölzchen. Marc und Stefan ziehen zufällig abwechselnd je ein Hölzchen (ohne Zurücklegen). Sobald einer ein langes Hölzchen zieht, hat er gewonnen und darf mit Tina ausgehen.
35 (%class=abc%)
36 1. Tina hat 3 kurze und 1 langes Hölzchen. Marc beginnt. Stefan glaubt, er sei im Nachteil, weil er erst als zweiter zieht. Untersuche, ob Stefan recht hat.
37 1. Am nächsten Tag wird das Spiel wiederholt. Tina möchte nun Marc begünstigen. Hanna rät ihr: „Nimm 3 lange und 2 kurze Hölzchen und lass Marc anfangen.“ Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass Tina mit Marc ausgeht.
38 {{/aufgabe}}
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40 {{aufgabe id="Mogeln" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" cc="by-sa"}}
41 In einer Urne sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Daniel bietet ein Spiel an: Dreimal zufällig ziehen mit Zurücklegen. Wer dreimal eine rote Kugel zieht, gewinnt. Larissa spielt, und es geht ehrlich zu. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
42
43 Als Timo spielt, mogelt Daniel: Wenn Timo eine rote Kugel zieht, legt er statt der roten eine blaue Kugel in die Urne zurück. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
44 {{/aufgabe}}
45
46 {{aufgabe id="Kugeln ziehen" afb="I" kompetenzen="K3,K4,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" cc="by-sa"}}
47 In einer Urne sind 4 blaue, 3 rote und 5 grüne Kugeln. Es wird zufällig gezogen ohne Zurücklegen und die jeweilige Farbe notiert. Wenn eine blaue Kugel gezogen wird ist Schluß, spätestens jedoch, wenn dreimal gezogen wurde.
48 (%class=abc%)
49 1. Gib einen möglichen Ergebnisraum an und skizziere das zugehörige Baumdiagramm.
50 1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
51 (%class=noborder%)
52 |{{formula}}A=\lbrace{{/formula}} Es wird dreimal gezogen. {{formula}} \rbrace {{/formula}}|{{formula}}B=\lbrace{{/formula}} Die zweite gezogene Kugel ist blau. {{formula}} \rbrace {{/formula}}
53 |{{formula}}C = A \cap B {{/formula}}|{{formula}}D = A \cup B {{/formula}}
54 {{/aufgabe}}
55
56 {{aufgabe id="Nüsse" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K5" quelle="Helmut Diehl, Frenzen" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
57 Vor vielen Jahren, als es noch keine Handyspiele gab, spielte man in der Weihnachtszeit beim Nüsse-Essen mit den Nussschalen.
58
59 Halbe Nussschalen wurden geworfen und bleiben so ◡ oder so ◠ liegen. Man hat immer zwei halbe Schalen geworfen.
60 Zwei Nussschalen liegen ◡ ◡ oder ◠ ◠ oder eine ◡ und die andere ◠.
61 Der Fall ◠ ◠ kam am seltensten vor. Aber die beiden anderen Fälle ( ◡ ◡ und verschiedene Lage) waren etwa gleich häufig.
62
63 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine halbe Nussschale in die Lage ◡ fällt.
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{aufgabe id="Formulierungen" afb="I" quelle="Holger Engels" kompetenzen="" zeit="2" cc="by-sa" tags=""}}
67 Unterstreiche mit Rot die Beschreibung des Ereignisses, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht wird und mit Grün das Ereignis, das schon eingetreten ist (Bedingung).
68 (%class=abc%)
69 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer schwangeren Frau ein negatives Ergebnis zeigt?
70 1. Wie groß ist der Anteil der Technikstudierenden unter den Frauen?
71 1. Von den Besuchern über 25 Jahren geben 80% eine positives Feedback.
72 {{/aufgabe}}
73
74 {{aufgabe id="Rennen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa"}}
75 Zu Beginn der Saison ist Rudi der stärkste Rennfahrer; seine Chance ein Rennen zu gewinnen liegt bei p = 0,6. Rudi nimmt in dieser Saison nur an 6 Rennen teil.
76 An wie vielen Rennen müsste Rudi mindestens teilnehmen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99,9 % mindestens einen Sieg zu erringen?
77 {{/aufgabe}}
78
79 {{aufgabe id="TÜV" afb="I" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa"}}
80 In einem Entwicklungsland werden beim TÜV lediglich die Bremsen und die Karosserie überprüft: Bei 82 % der untersuchten Wagen waren die Bremsen in Ordnung, bei 86 % war die Karosserie ohne Beanstandung. Bei 12 % der Fahrzeuge waren sowohl Bremsen als auch die Karosserie kaputt.
81 Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
82 a) bei einem Wagen, bei dem die Karosserie defekt ist, auch die Bremsen kaputt sind?
83 b) bei einem Wagen mit defekten Bremsen die Karosserie ohne Beanstandungen bleibt?
84 {{/aufgabe}}
85
86 {{aufgabe id="Kugeln hinzufügen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
87 In einer Schüssel sind 20 rote und 10 gelbe Kugeln. Es werden mit einem Zug zwei Kugeln gezogen.
88 Wie viele blaue Kugeln müssen dazugegeben werden, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu bekommen,
89 a) genau {{formula}}\frac{70}{183}{{/formula}} ist? b) höchstens 0,4 ist? c) mindestens 0,5 ist?
90 {{/aufgabe}}
91
92 {{aufgabe id="Raucher" afb="I" kompetenzen="K3,K4" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
93 Unter den 2500 Mitarbeitern einer Firma sind 1600 Raucher. Von den 2000 Männern rauchen 1400.
94 Fülle die folgende Tabelle aus und berechne die fehlenden Zellen:
95
96 (%class="border slim"%)
97 |=|=Raucher|=Nichtraucher|
98 |=Frauen|||
99 |=Männer|||
100 | |||
101
102 Berechne
103 (%class=abc%)
104 1. den Anteil der Frauen an der Belegschaft,
105 1. den Anteil der Nichtraucher an der Belegschaft,
106 1. wie viel Prozent der Männer rauchen,
107 1. wie viel Prozent der Frauen rauchen
108 {{/aufgabe}}
109
110 {{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Mengen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
111 In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
112 (% class=abc %)
113 1. Zeige, dass die Ereignisse {{formula}}A=\lbrace 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\rbrace {{/formula}} und {{formula}}B=\lbrace 1, 2, 4, 7, 9, 10, 14\rbrace {{/formula}} stochastisch abhängig sind.
114 1. Gib ein weiteres von //A// stochastisch abhängiges Ereignis //C// und ein von //A// stochastisch unabhängiges Ereignis //D// an.
115 {{/aufgabe}}
116
117 {{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" tags="problemlösen"}}
118 In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
119 (% class=abc %)
120 1. Gib ein Ereignis //E// an mit Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(E)=\frac{1}{7}{{/formula}}.
121 1. Begründe, warum zwei Ereignisse //F// und //G// mit {{formula}}P(F)=P(G)=0{,}8{{/formula}} stets stochastisch abhängig sind.
122 {{/aufgabe}}
123
124 {{aufgabe id="Marathonlauf" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Abitur 2024" cc="BY-SA"}}
125 Von den Teilnehmern, die bei einem Marathonlauf nicht im Ziel angekommen sind, haben
126 * 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
127 * 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
128 * 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“
129 den Lauf abgebrochen.
130
131 (% class=abc %)
132 1. Berechne den Anteil derer, die den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
133 1. Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
134 {{/aufgabe}}
135
136 {{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" kompetenzen="K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_14.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
137 Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren, die mit den Zahlen 2 bzw. 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen die Zahl 2 erzielt wird, beträgt //p//. Bei einem Spiel dreht eine Person das Glücksrad genau so oft, bis die Summe der erzielten Zahlen 5, 6, oder 7 beträgt. Bei der Summe 6 gewinnt die Person, sonst verliert sie.
138 1. Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
139 1. (((Die beiden folgenden Ereignisse sind stochastisch unabhängig:
140 E: „Beim ersten Drehen des Glücksrads wird die Zahl 2 erzielt.“
141 G: „Die Person gewinnt das Spiel.“
142 Ermittle eine Gleichung, die die Variable //p// enthält und die Berechnung des Werts von //p// ermöglicht.
143 )))
144 {{/aufgabe}}
145
146 {{aufgabe id="Kugelbehälter" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_18.pdf]]" niveau="g" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
147 Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:
148
149 * Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.
150 * Im Behälter B befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.
151 * Im Behälter C befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit {{formula}}w{{/formula}} bezeichnet wird.
152
153 Bei einem Spiel wird einer der drei Behälter zufällig ausgewählt und anschließend daraus eine Kugel zufällig gezogen. Ist bei diesem Spiel die gezogene Kugel schwarz, kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Behälter C ausgewählt wurde, mit dem Term
154
155 {{formula fontSize="larger"}}\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}{{/formula}}
156
157 berechnet werden.
158
159 Weise dies nach und berechne {{formula}}w{{/formula}}, wenn die beschriebene Wahrscheinlichkeit den Wert {{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}} hat.
160 {{/aufgabe}}
161
162 {{lehrende}}Evtl. noch eine Aufgabe mit Prävalenz{{/lehrende}}
163
164 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="4" menge="1"/}}