Lösung Lichtschalterproblem
Bevor man die Frage für ein beliebiges Zimmer (Nummer n) beantwortet, tastet man sich am besten langsam von Zimmer zu Zimmer, beginnend mit der Nummer 1, vor. Dann kann man gut argumentieren.
Der Bequemlichkeit halber nennen wir den Schalter in Zimmer n Schalter n und den Gast von Zimmer n Gast n.
- Schalter 1 wird nur von Gast 1 gedrückt, bleibt also dauerhaft an.
(Gast 2 startet erst bei Zimmer 2, Gast 3 bei Zimmer 3 usw.)
Kurz: Schalter 1 nur von Gast 1. → an - Schalter 2 wird zusätzlich nur von Gast 2 gedrückt, bleibt also dauerhaft aus.
Kurz: Schalter 2 von Gästen 1 und 2. → aus - Schalter 3 wird von Gast 1 betätigt, nicht von Gast 2 (3 ungerade), aber dann wieder von Gast 3.
Kurz: Schalter 3 von Gästen 1 und 3 → aus - Schalter 4 wird von den Gästen 1, 2 und 4 gedrückt (denn 4 lässt sich durch 4, durch 2 und 1 teilen).
Kurz: Schalter 4 von Gästen 1, 2 und 4 → an - Schalter 5 wird von den Gästen 1 und 5 gedrückt (5 ist nur durch 1 und 5 teilbar).
Kurz: Schalter 5 von Gästen 1 und 5 → aus
Hier erkennt man das folgende Muster für die Zimmernummer n:
Da jede Zahl n durch n und sich selbst teilbar ist, gilt folgende Regel:
Man überprüft für jede Zahl von 2 bis n-1, ob sie Teiler von n ist. Ist die Anzahl dieser Teiler gerade oder 0, so ist das Licht nach dem letzten Durchgang aus, ist die Anzahl der Teiler ungerade, ist das Licht nach dem letzten Durchgang an.
Beispiel: 40 ist teilbar durch 2, 4, 5, 8, 10, 20, also durch 6 Zahlen, also ist die das Licht in Zimmer Nummer 40 am Ende aus.
Bonus: In der Excel- oder Python-Simulation sieht man, dass genau die Quadratzahlen nach dem Durchlauf an sind.