BPE 11.2 Laplace-Experiment, mehrstufige Experimente und Urnenmodelle

Aufgabe 1  Laplace-Experimente

Nenne die Eigenschaften eines Laplace-Experiments und gib drei Beispiele an.
Beurteile, ob es sich bei folgenden Beispielen um Laplace-Experimente handelt:

1. Wurf eines Flaschendeckels  
2. In einer undurchsichtigen Schale befinden sich je 10 Bonbons in 5 verschiedenen Geschmacksrichtungen (z.B. Erdbeere, Zitrone, Apfel, Cola, Himbeere). Hanna zieht ein Bonbon.  
3. Schreiben einer Matheklassenarbeit  
4. Ein Hund darf sich eines von drei Leckerli aussuchen: Fleisch, Käse oder Karotte.  
5. Wähle eine Farbe beim Roulette-Spiel.  
6. Fußballspiel zwischen FC Bayern München und SV Waldhof Mannheim  

Aufgabe 2  Quiz 𝕃

1. Beschreibe, was man unter einem Laplace-Experiment versteht?
   1. Ein Experiment mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten
   2. Ein Experiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind
   3. Ein Experiment, das nur einmal durchgeführt wird
       
2. Gib an, wie viele mögliche Ergebnisse es bei einem Wurf mit einem fairen Würfel gibt
   1. 4
   2. 6
   3. 8
       
3. Gib an, welche der folgenden Wahrscheinlichkeiten für das Ergebnis "Kopf" korrekt ist, wenn du eine faire Münze wirfst.
   1. \( P(Kopf) = \frac{1}{2} \)
   2. \( P(Kopf) = \frac{1}{3} \)
   3. \( P(Kopf) = \frac{1}{4} \)
       
4. Ein Beutel enthält 2 rote und 3 blaue Kugeln. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel.
   1. \( P(\text{blau}) = \frac{3}{5} \)
   2. \( P(\text{blau}) = \frac{2}{5} \)
   3. \( P(\text{blau}) = \frac{2}{3} \)
       
5. Was passiert mit der relativen Häufigkeit eines Ergebnisses, wenn die Anzahl der Versuche in einem Laplace-Experiment erhöht wird? Entscheide dich für eine der Lösungen.
   1. Sie bleibt konstant
   2. Sie schwankt stark
   3. Sie nähert sich der theoretischen Wahrscheinlichkeit an
       
6. Wenn du einen Würfel 60 Mal wirfst und eine 4 insgesamt 10 Mal erhältst, was ist die relative Häufigkeit für das Ergebnis "4"? Beschreibe in wenigen Worten
   1. \( P(4) = \frac{1}{6} \)
   2. \( P(4) = \frac{1}{5} \)
   3. \( P(4) = \frac{1}{10} \)
       
7. Gib die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace-Experiment an.
   1. \( P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \)
   2. \( P(E) = \text{Anzahl der möglichen Ergebnisse} \times \text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} \)
   3. \( P(E) = \text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} - \text{Anzahl der möglichen Ergebnisse} \)
       
8. Wenn du eine Karte aus einem Standarddeck von 52 Karten ziehst, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Herz zu ziehen? Berechne.
   1. \( P(\text{Herz}) = \frac{1}{4} \)
   2. \( P(\text{Herz}) = \frac{1}{2} \)
   3. \( P(\text{Herz}) = \frac{1}{13} \)
       
9. Wenn du zwei Münzen gleichzeitig wirfst, gib an, wie viele mögliche Ergebnisse es gibt.
   1. 2
   2. 3
   3. 4
       
10. In einem Laplace-Experiment mit 10 möglichen Ergebnissen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen? Berechne.
    1. \( P(E) = \frac{1}{5} \)
    2. \( P(E) = \frac{1}{10} \)
    3. \( P(E) = \frac{1}{2} \)

Aufgabe 3  Kugelziehung 𝕋  𝕃

In einer Urne befinden sich zwei rote und drei blaue Kugeln. Ziehe zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

1.Beide Kugeln sind rot.  
1.Eine Kugel ist rot und eine ist blau.  
1.Beide Kugeln sind blau.  
a) Beide Kugeln sind rot.  

b) Eine Kugel ist rot und eine ist blau.  

c) Beide Kugeln sind blau.  

*Hinweis: Zeichne ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung.*

Aufgabe 4  Baumdiagramm 𝕃

Ein Glücksrad hat die Farben Rot, Blau und Gelb. Die Wahrscheinlichkeiten sind wie folgt:

- Rot: 50%
- Blau: 30%
- Gelb: 20%

a) Zeichne ein Baumdiagramm für zwei Umdrehungen des Glücksrads.  

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es zuerst Rot und dann Blau zeigt.  

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es zweimal Gelb zeigt.

Aufgabe 5  Wahrscheinlichkeitsgeschichten 𝕃

Marie und Sophia ziehen nacheinander Bonbons aus einer Tüte. In der Tüte sind 4 Himbeer- und 6 Zitronenbonbons.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Marie ein Himbeerbonbon zieht und Sophia danach ein Zitronenbonbon.  

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide ein Himbeerbonbon ziehen.  

c) Erstelle eine kurze Geschichte, in der diese Wahrscheinlichkeiten vorkommen.

Aufgabe 6  Wahrscheinlichkeitskarten 𝕃

Erstelle ein Kartenspiel mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:

- Karte A: 0,2 (Ereignis tritt ein)
- Karte B: 0,5 (Ereignis tritt ein)
- Karte C: 0,3 (Ereignis tritt ein)

a) Berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Karte ein Ereignis zeigt.  

b) Ziehe zwei Karten nacheinander ohne Zurücklegen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten ein Ereignis zeigen.

Aufgabe 7  Alltagsbeispiele 𝕃

Denke an eine alltägliche Situation, in der Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen, z.B. Wettervorhersage oder Sportergebnisse.

a) Beschreibe die Situation und die möglichen Ergebnisse.  

b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ergebnisse.  

c) Erstelle ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung.

Aufgabe 8  Digitale Simulationen

Nutze eine Online-Plattform oder App, um Wahrscheinlichkeiten zu simulieren.

a) Führe eine Simulation durch, bei der du die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer bestimmten Kugelfarbe berechnest.  

b) Dokumentiere die Ergebnisse und vergleiche sie mit den theoretischen Wahrscheinlichkeiten.

Aufgabe 9  Mathematische Rätsel

Löse das folgende Rätsel:

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine Sechs geworfen wird.

a) Erstelle eine Tabelle, um die möglichen Ergebnisse aufzulisten.  

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine Sechs geworfen wird, und ziehe die Schlussfolgerung.