BPE 11.2 Laplace-Experiment, mehrstufige Experimente und Urnenmodelle

Aufgabe 1  Laplace-Experimente

Nenne die Eigenschaften eines Laplace-Experiments und gib drei Beispiele an.
Beurteile, ob es sich bei folgenden Beispielen um Laplace-Experimente handelt:

1. Wurf eines Flaschendeckels  
2. In einer undurchsichtigen Schale befinden sich je 10 Bonbons in 5 verschiedenen Geschmacksrichtungen (z.B. Erdbeere, Zitrone, Apfel, Cola, Himbeere). Hanna zieht ein Bonbon.  
3. Schreiben einer Matheklassenarbeit  
4. Ein Hund darf sich eines von drei Leckerli aussuchen: Fleisch, Käse oder Karotte.  
5. Wähle eine Farbe beim Roulette-Spiel.  
6. Fußballspiel zwischen FC Bayern München und SV Waldhof Mannheim  

Aufgabe 2  Quiz 𝕃

1. Beschreibe, was man unter einem Laplace-Experiment versteht?
   1. Ein Experiment mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten
   2. Ein Experiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind
   3. Ein Experiment, das nur einmal durchgeführt wird
       
2. Gib an, wie viele mögliche Ergebnisse es bei einem Wurf mit einem fairen Würfel gibt
   1. 4
   2. 6
   3. 8
       
3. Gib an, welche der folgenden Wahrscheinlichkeiten für das Ergebnis "Kopf" korrekt ist, wenn du eine faire Münze wirfst.
   1. \( P(Kopf) = \frac{1}{2} \)
   2. \( P(Kopf) = \frac{1}{3} \)
   3. \( P(Kopf) = \frac{1}{4} \)
       
4. Ein Beutel enthält 2 rote und 3 blaue Kugeln. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel.
   1. \( P(\text{blau}) = \frac{3}{5} \)
   2. \( P(\text{blau}) = \frac{2}{5} \)
   3. \( P(\text{blau}) = \frac{2}{3} \)
       
5. Bei einem Laplace-Experiment wird die Anzahl der Durchführungen erhöht. Dabei soll die Entwicklung der relativen Häufigkeit eines Ergebnisses betrachtet werden. Entscheide dich für eine der Lösungen.
   1. Sie bleibt konstant
   2. Sie schwankt stark
   3. Sie nähert sich der Wahrscheinlichkeit an
       
6. Du wirfst einen einen Würfel 60 Mal. Insgesamt erhältst du 10 Mal eine 4. Wie groß ist die relative Häufigkeit für das Ergebnis "4"? Entscheide und begründe.
   1. \( P(4) = \frac{1}{6} \)
   2. \( P(4) = \frac{1}{5} \)
   3. \( P(4) = \frac{1}{10} \)
       
7. Gib die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace-Experiment an.
   1. \( P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \)
   2. \( P(E) = \text{Anzahl der möglichen Ergebnisse} \times \text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} \)
   3. \( P(E) = \text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} - \text{Anzahl der möglichen Ergebnisse} \)
       
8. Du ziehst eine Karte aus einem Standarddeck von 52 Karten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Herz zu ziehen? Berechne.
   1. \( P(\text{Herz}) = \frac{1}{4} \)
   2. \( P(\text{Herz}) = \frac{1}{2} \)
   3. \( P(\text{Herz}) = \frac{1}{13} \)
       
9. Du wirfst zwei Münzen gleichzeitig, gib an, wie viele mögliche Ergebnisse es gibt.
   1. 2
   2. 3
   3. 4
       
10. In einem Laplace-Experiment mit 10 möglichen Ergebnissen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen? Berechne.
    1. \( P(E) = \frac{1}{5} \)
    2. \( P(E) = \frac{1}{10} \)
    3. \( P(E) = \frac{1}{2} \)

Aufgabe 3  Kugelziehung 𝕋  𝕃

In einer Urne befinden sich zwei rote und drei blaue Kugeln. Ziehe zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

1. Beide Kugeln sind rot.  
2. Eine Kugel ist rot und eine ist blau.  
3. Beide Kugeln sind blau.  
   *Hinweis: Zeichne ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung.*

Aufgabe 4  Baumdiagramm 𝕃

Ein Glücksrad hat die Farben Rot, Blau und Gelb. Die Wahrscheinlichkeiten sind wie folgt:
Rot: 50%
Blau: 30%
Gelb: 20%

1. Zeichne ein Baumdiagramm für zwei Umdrehungen des Glücksrads.  
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es zuerst Rot und dann Blau zeigt.  
3. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es zweimal Gelb zeigt.

Aufgabe 5  Wahrscheinlichkeitsgeschichten 𝕃

Marie und Sophia ziehen nacheinander Bonbons aus einer Tüte. In der Tüte sind 4 Himbeer- und 6 Zitronenbonbons.

1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Marie ein Himbeerbonbon zieht und Sophia danach ein Zitronenbonbon.  
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide ein Himbeerbonbon ziehen.  
3. Erstelle eine kurze Geschichte, in der diese Wahrscheinlichkeiten vorkommen.

Aufgabe 6  Wahrscheinlichkeitskarten 𝕃

Denke dir ein Zufallsexperiment aus, bei dem drei verschiedene Ergebnisse a,b,c auftreten können und die folgende Wahrscheinlichkeiten haben:
- Ergebnis a: 0,2
- Ergebnis b: 0,5
- Ergebnis c: 0,3 

1. Beschreibe dein ausgedachtes Experiment und berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Ergebnis eintritt.  
2. Berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ergebnis zweimal in Folge auftritt.

Aufgabe 7  Alltagsbeispiele 𝕃

Denke an eine alltägliche Situation, in der Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen, z.B. Wettervorhersage oder Sportergebnisse.

1. Beschreibe die Situation und die möglichen Ergebnisse.  
2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ergebnisse.  
3. Erstelle ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung.

Aufgabe 8  Summen- und Produktregel anwenden 𝕃

Löse das folgende Rätsel:

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine Sechs geworfen wird.

1. Erstelle eine Tabelle, um die möglichen Ergebnisse aufzulisten.  
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine Sechs geworfen wird, und ziehe die Schlussfolgerung.