BPE 12.3 Potenzfunktion

1  Definitions- und Wertemenge aus Gleichung und Graph  (10 min) 𝕃

2  Erkunden - Gerader Exponent  (12 min) 𝕃

Gegeben sind zwei Funktionsgleichungen \(f(x)=x^2\) und \(h(x)=x^{-2}\).

1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
2. Skizziere jeweils den Graphen der Funktion ggf. mit Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x-Achse von \([-3; +3]\) geht.
3. Beschreibe die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.

3  Erkunden - Ungerader Exponent  (12 min) 𝕃

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen \(f(x)=x^3\) und \(h(x)=x^{-3}\).

1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
2. Skizziere jeweils die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse jeweils von \([-8; +8]\) geht.
3. Beschreibe die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.

4  Venn - Eigenschaften  (8 min) 𝕃

Gib für jedes Feld A .. D eine passende Funktion \(f(x)=x^n\) an. Sollte ein Feld nicht gefüllt werden können, begründe bitte, warum es nicht geht.

5  Entscheiden – Potenzfunktionen  (8 min) 𝕃

Gegeben ist das Schaubild einer Potenzfunktion mit folgenden Eigenschaften:

- Das Schaubild ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Die Funktion ist für \(x=0\) nicht definiert.
- Alle Funktionswerte sind positiv.

Entscheide begründet, ob die nachfolgenden Funktionsterme zu dem beschriebenen Schaubild passen können.

1. \(f(x)=x^2\)
2. \(f(x)=x^4\)
3. \(f(x)=x^{-1}\)
4. \(f(x)=x^{-2}\)

6  Kritisch Stellung nehmen  (4 min)

Ein Schüler behauptet:
  „Je größer der Exponent einer Potenzfunktion ist, desto steiler ist der Graph überall.“
 
Nimm kritisch Stellung zu dieser Aussage.
Tipp: Du kannst bspw. auch mithilfe eines konkreten Beispiels einer Potenzfunktion Stellung nehmen.

7  Prozesse Schaubildern zuordnen  (8 min) 𝕃

Ordne jedem Prozess (I bis IV) aus der linken Spalte jeweils den zugehörigen Graphen bzw. den zugehörigen Funktionsterm aus der rechten Spalte zu.
Begründe jede deiner Zuordnung mathematisch. Gehe dabei auf folgende Punkte ein:

• Wie wächst/fällt der Graph, wenn x größer wird? 
• Ist der Graph symmetrisch? 
• Was passiert bei kleinen x-Werten, besonders in der Nähe von x = 0? 
• Gibt es "verbotene" Werte oder eine Stelle, an der der Graph nicht definiert ist?

Prozess	Zuordnung:  Graph / Funktionsterm
Prozess I – Gaming-Display Die Fläche eines quadratischen Displays hängt von der Seitenlänge ab.	Schaubild A
Prozess II – E-Scooter Die Belastung des Motors steigt mit der Leistungseinstellung: bei kleinen Werten wenig, bei großen Werten sehr stark.	\(f(x) = x^2\)
Prozess III – WLAN-Signal Mit wachsendem Abstand zum Router wird das Signal schwächer, verschwindet aber nie ganz.	Schaubild B
Prozess IV – Social Media Die Intensität eines Lichts nimmt mit dem Abstand sehr stark ab: Je näher man an der Lichtquelle ist, desto größer die Intensität, und je weiter weg, desto kleiner, aber niemals null.“	\(k(x) = x^{-1}\)

8  Einfluss des Exponenten auf das Annäherungsverhalten an die Achsen  (10 min) 𝕃

Zwei Potenzfunktionen \(f(x)=x^k\) und \(g(x)=x^m\) mit ganzzahligen Exponenten haben Schaubilder, die sich der x-Achse annähern.

1. Entwickle ein Kriterium, mit dem man entscheiden kann, welcher der beiden Graphen für große \(|x|\) schneller gegen die x-Achse fällt. Erkläre deine Überlegung.
2. Überprüfe, ob dieses Kriterium auch dafür geeignet ist zu entscheiden, welcher der beiden Graphen sich für \(x\to 0\) schneller der y-Achse annähert. Begründe deine Entscheidung.